2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение20.03.2014, 21:16 


25/06/12

389
Munin в сообщении #837848 писал(а):
И в одномерном, и в трёхмерном случае всё одинаково. (Ну, с учётом того, что функции всё-таки разные.) Полное решение есть полное решение. Кстати, а что такое "полное"?

Мы имеем дело с базовым решением, которое является волновой функцией для точечного возмущающего источника, существующего в начальный момент времени. Если задача не одномерная, мы можем представить в начальный момент времени распределенный источник (например, по некоторой плоскости ортогональной распространению волны), и определять волновую функцию для этого источника путем интегрирования по участку задания возмущающей функции.
В случае одномерного уравнения нет ортогонального геометрического образования по которому можно распределить начальное возмущение, поэтому я здесь называю базовое решение полным.

Munin в сообщении #837848 писал(а):
Тьфу, напишите формулу. Чего вы её словами описываете?

Вот Фурье-трансформанта искомого базового решения $$ \frac {e^{i(\sqrt{p^2+m^2}\,t)}} {\sqrt{p^2+m^2}}.$$

SergeyGubanov в сообщении #838893 писал(а):
Полянина не смотрел, но в сообщении #836032
вроде была оговорка, что не сама функция является ответом, а: "Функция Грина будет от неё производной по времени". Может чего-то с ней надо сделать сначала?

Да нет, мы рассматриваем именно базовое решение, которое является реакцией на дельта-образный возмущающий источник. Это решение удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона всюду, кроме точки начала
координат и времени. Функция Грина нас не интересует.


Вот еще один аргумент в пользу правильности решения Полянина. В книге А.Анро "Математика для электро- и радиоинженеров" я обнаружил трансформанту преобразования Лапласа, которая отвечает Бесселевым функциям мнимого аргумента вида $I_\nu (m\sqrt{x^2-t^2}),$ $x>t.$ (символы заменены под наши обозначения). В частности для функции Бесселя $I_0$ указанная трансформанта имеет вид $$\frac {e^{t\sqrt{m^2-p^2}} }{\sqrt{m^2-p^2}}.$$ Но если положить, как это имеет место у нас $x<t,$ то функция Бесселя мнимого аргумента переходит в соответствующую функцию действительного аргумента $I_0\rightarrow J_0.$
Трансформанта преобразования Лапласа отличается от Фурье-трансформанты лишь тем, что характеристическая переменная преобразования Лапласа $p$ заменяется на $ip.$ В результате вышеуказанная трансформанта принимает вид $$\frac {e^{it\sqrt{m^2+p^2}}} {\sqrt{m^2+p^2}},$$ соответствующий обсуждаемой ранее Фурье-трансформанте одномерного уравнения Клейна-Гордона.

Вновь становится на повестку вопрос, где же допущена ошибка в сообщении post838605.html#p838605 о неправомерности решения Полянина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение20.03.2014, 21:57 
Аватара пользователя


14/11/12
1368
Россия, Нижний Новгород
Lvov в сообщении #839050 писал(а):
$$\frac {e^{it\sqrt{m^2+p^2}}} {\sqrt{m^2+p^2}}$$
Во всех формулах не хватает множителя $e^{i p x}$. Специально или опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение20.03.2014, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Lvov в сообщении #839050 писал(а):
Мы имеем дело с базовым решением, которое является волновой функцией для точечного возмущающего источника, существующего в начальный момент времени. Если задача не одномерная, мы можем представить в начальный момент времени распределенный источник (например, по некоторой плоскости ортогональной распространению волны), и определять волновую функцию для этого источника путем интегрирования по участку задания возмущающей функции.
В случае одномерного уравнения нет ортогонального геометрического образования по которому можно распределить начальное возмущение, поэтому я здесь называю базовое решение полным.

В обоих случаях мы можем представить себе распределённый источник по объёму. А по ортогональной плоскости - это излишество и незачем.

Lvov в сообщении #839050 писал(а):
Вот Фурье-трансформанта искомого базового решения $$ \frac {e^{i(\sqrt{p^2+m^2}\,t)}} {\sqrt{p^2+m^2}}.$$

Так. В Бейтмене-Эрдейи см. формулы раздел 1.4 (26), 1.7 (30), (34). С этим можно дальше работать.

Lvov в сообщении #839050 писал(а):
Да нет, мы рассматриваем именно базовое решение, которое является реакцией на дельта-образный возмущающий источник.

Тут лучше всё-таки уточнить задачу. Потому что в задаче Коши и в задаче Грина условия всё-таки разные. Я заметил, что функции могут соответствовать друг другу по-разному.

-- 20.03.2014 23:28:09 --

SergeyGubanov в сообщении #839067 писал(а):
Во всех формулах не хватает множителя $e^{i p x}$. Специально или опечатка?

Он добавляется в формуле преобразования Фурье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 10:37 
Аватара пользователя


14/11/12
1368
Россия, Нижний Новгород
SergeyGubanov в сообщении #838978 писал(а):
Видимо надо извращаться как то так:
$$
\int\limits_{0}^{\infty}
\frac{\sin(p r)}{r} \, \frac{ e^{i t \sqrt{m^2 + p^2}} }{\sqrt{m^2 + p^2}} \, p \, dp
=
-i \frac{\partial}{\partial t}
\int\limits_{0}^{\infty}
\frac{\sin(p r)}{r} \, \frac{ e^{i t \sqrt{m^2 + p^2}} }{m^2 + p^2} \, p \, dp
$$
последний интеграл можно (если осторожно) брать численно, а затем, опять же численно, дифференцировать по $t$.

Таким способом интеграл взять получилось:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 11:15 


27/02/09
253
SergeyGubanov в сообщении #838978 писал(а):
Похоже, что интеграл
$$
\int\limits_{0}^{\infty}
\frac{\sin(p r)}{r} \, \frac{ e^{i t \sqrt{m^2 + p^2}} }{\sqrt{m^2 + p^2}} \, p \, dp
$$
в лоб численно вообще нельзя взять так как результат тупо зависит от параметра обрезания $p_{\max}$.
Естественно, он же расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
SergeyGubanov
Спасибо. Теперь Lvov может убедиться, что отличия не качественные, а только количественные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 14:08 
Аватара пользователя


14/11/12
1368
Россия, Нижний Новгород
Наложил график численного интегрирования на график функции Бесселя $J_0$ - они совпадают.

Изображение

То есть имеет место что-то вроде такого ($t > x$):
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \left( t \sqrt{1+p^2} + p x \right) }{\sqrt{1+p^2}} \, dp = \pi J_0 (\sqrt{t^2 - x^2})
$$
Mathematica 9 этот интеграл аналитически брать не умеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 17:20 
Аватара пользователя


14/11/12
1368
Россия, Нижний Новгород
Сделаем проверку "в обратную сторону". Берём одномерное УКГ ($m = 1$):
$$
\partial_t^2 \psi - \partial_x^2 \psi + \psi = 0
$$
Используем анзац
$$
\psi (t, x) = F(\sqrt{t^2 - x^2})
$$
На функцию $F(s)$ получаем уравнение:
$$
F''(s) + \frac{1}{s}F'(s) + F(s) = 0
$$
Да, всё верно, решения этого уравнения -- функции Бесселя первого $J_0(s)$ и второго $Y_0(s)$ рода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 19:50 


25/08/11

1074
Применяем синус суммы, тогда один интеграл от нечетной функции равен нулю, а второй есть в справочнике-трёхтомнике Интегралы и ряды, т.1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 21:43 


25/06/12

389
SergeyGubanov в сообщении #839377 писал(а):
Да, всё верно, решения этого уравнения -- функции Бесселя первого $J_0(s)$ и второго $Y_0(s)$ рода.

Ну и растяпа же я. В упор не замечал множители $t$ и $x$ в первых производных.
Остается установить, соответствие типа функций Бесселя действительной и мнимой его части. Согласно формулам, указанным Munin'ым (Бейтмене-Эрдейи, формулы раздел 1.7 (30), (34)) действительной части отвечает функция $Y_0(s),$ а мнимой - $J_0(s.)$ Но в трехмерном случае в учебниках по КЭД картина обратная.
Функция $Y_0(s)$ неприятна в том отношении, что при $s=0$ она имеет значение $-\infty .$

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 21:58 


25/08/11

1074
Если я правильно понял, то в последних постах идёт речь о вычислении интеграла, приведённого
при $t>x$ чуть ранее. Если применить под знаком интеграла синус суммы, то получим выражаясь словами, а не формулами, интеграл от синус корня умножить на косинус плюс интеграл от косинуса корня умножить на синус. Первый интеграл приведён в книге Интегралы и ряды, Брычков, Прудников, Маричев, 2002, С. 353 формула 9, он совпадает с приведённой функцией Бесселя при $t>x$ и равен нулю при противоположном условии. Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах. Приношу извинения, если целью обсуждения было вычислить что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение21.03.2014, 22:38 
Аватара пользователя


14/11/12
1368
Россия, Нижний Новгород
sergei1961, спасибо. А ещё у нас вот такой страшный интеграл есть:
$$
\int\limits_{0}^{\infty}
\frac{\sin(p r)}{r} \, \frac{ \sin\left( t \sqrt{1 + p^2} \right) }{\sqrt{1 + p^2}} \, p \, dp
$$
Он, вроде, равен $\operatorname{const} J_1(\sqrt{t^2 - r^2}) / \sqrt{t^2 - r^2}$ при $t > r$.

Это решение трёхмерного уравнения Клейна-Гордона ($m=1$) с дельта-функцией в правой части:

$$
\partial_t^2 \psi - \partial_x^2 \psi - \partial_y^2 \psi - \partial_z^2 \psi + \psi = \delta_4 (x)
$$
используем анзац как и прежде:
$$
\psi(t,x,y,x) = F(\sqrt{t^2 - x^2 - y^2 - z^2})
$$
на функцию $F(s)$ при $s > 0$ получаем уравнение:
$$
F''(s) + \frac{3}{s} F'(s) + F(s) = 0
$$
Его общее решение:
$$
F(s) = \frac{C_1}{s} J_1(s) + \frac{C_2}{s} Y_1(s)
$$
Интересующее нас решение (при $t > |{\bf r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$):
$$
\psi(t,x,y,x) = \frac{\operatorname{const}}{ \sqrt{t^2 - x^2 - y^2 - z^2}} J_1(\sqrt{t^2 - x^2 - y^2 - z^2})
$$
А если решать это уравнение преобразованием Фурье, то получается тот страшный интеграл. Значит тот интеграл должен быть равен тому чему я написал в начале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение22.03.2014, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
sergei1961 в сообщении #839473 писал(а):
то получим выражаясь словами, а не формулами

А чего так? :-) Можно же и формулами. Например, $\int\sin\sqrt{\ldots}$ или $\ldots\sqrt{\text{корень}}\ldots\sqrt{\text{тот же корень}},$ если хочется что-то полуформально сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение22.03.2014, 10:38 


25/06/12

389
SergeyGubanov в сообщении #839493 писал(а):
Это решение трёхмерного уравнения Клейна-Гордона ($m=1$) с дельта-функцией в правой части:

Теперь, когда мы разобрались с формулами для одномерноого и 3-мерного базовых решений, предлагаю получить формулы (это не проблема) и привести графики для распределений плотности заряда (плотности вероятности обнаружения частицы) для одномерного и трехмерного случая.
Например, в одномерном случае привести графики зависимости плотности заряда от расстояния для нескольких значений времени. В трехмерном случае то же, ограничившись графиком вдоль одной из координат.

Формулы для плотности вероятности в одномерном случае, насколько я понимаю, с точностью до постоянного множителя имеют вид $$\rho= \frac {\partial \psi^*} {\partial t}\psi  = \frac {t} s (J_1(s)J_0(s) +Y_1(s) Y_0(s)),$$ где $s=\sqrt{t^2-x^2},$ $m=1.$
В трехмерном случае в формуле будут фигурировать произведение функций Бесселя первого и второго порядка, поделенные на $s^2.$
В связи с этим вопрос к SergeyGubanov, умеет ли Ваша программа вычислять функции Бесселя нулевого, первого и второго порядка первого и второго рода?

 Профиль  
                  
 
 Re: Светоскоростной характер волновых уравнений КМ
Сообщение22.03.2014, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Lvov
Вы не знаете, что за программа такая Mathematica?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 125 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 9  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group