Хочу быть математиком.

[SpBTimes]

Munin в сообщении #842009 писал(а):

А то наскучит же, по третьему разу одно и то же (а то и по четвёртому, если считать школьный курс)

Да не наскучит, изложение-то совсем другое.

[anokata]

Спасибо товарищи за дельные сообщения.

Munin в сообщении #841664 писал(а):

Под словами "теория групп" понимается две разные вещи

На теорию групп Ли и не претендую, это дело далёкое. Просто вот ковырял подстановки - а вот вдруг я чего-то не знаю ещё и в итоге недопонимаю. Например, зачастую перед началами теории групп дают начала теории чисел. Вероятно, это для обеспеспечения материалом для примеров...

Munin в сообщении #841664 писал(а):

Хотя понятно, что сейчас вам без общей эрудиции об областях математики трудно сориентироваться, и тем более выбрать, к чему душа лежит. Но уже сейчас вы можете сориентироваться, что вам удобнее и понятнее: геометрические рассуждения; символические вычисления ("игры в символы" по заданным правилам, как в абстрактной алгебре); математический анализ с его "содержательным" подходом к формулам, и с рассуждениями о непрерывностях, монотонностях и т. п.; комбинаторика; рассуждения о целых числах, простоте, делимости?

Трудно пока ещё точно решить. Так-то очень привлекает именно символическая часть математики, но не мыслить это содержательно нельзя. К тому же геометрические размышления уж очень сильно будоражат воображения, не знаю даже, плохо это или хорошо, бывает, по полчаса ухожу, как бы в трансе, представлять различные фигуры, их преобразования, деформации, пересечения, построения. Тем не менее, это больше похоже на фантазии, без последующей уточняющей фиксации всё это бред.

Чтож, буду ориентироваться и осваивать.

[Munin]

SpBTimes в сообщении #842139 писал(а):

Да не наскучит, изложение-то совсем другое.

В большой степени похожее. К тому же, "ответ мы уже знаем".

Ладно, моё дело предупредить. Если и вправду не наскучит, тем лучше.

[мат-ламер]

anokata в сообщении #842202 писал(а):

Чтож, буду ориентироваться и осваивать.

anokata. Если не секрет, что Вы собираетесь осваивать в ближайшее время?

[anokata]

мат-ламер

Я ещё не вполне сориентировался. Пытался решать "Демидовича" – на 5ой задачи споткнулся – плохо знаю комбинаторику. Видимо надо лучше повторять школьную программу. Как-то всё равно часто предполагается хорошее владение многими темами, хоть и на неглубоком уровне – той же комбинаторики, тригонометрии, неравенств... Понимаю, конечно, что наверняка все темы потом постепенно и вовремя и более глубже и точнее излагаются в университетских курсах, но вот без предварительного знания их начал, освоить их уже непонятно как, если большинство задач проходит мимо. Взять хотя бы те же уравнения – не зная самых основ, не запомнив, порешав примеров достаточно, как можно вообще до общей теории дойти? Вот если бы был курс, в котором действительно всё последовательно излагается…
К чему вопрос то… вроде очевидно, что это в моём случае обречено и безуспешно.
Что буду – неизвестно. А хотелось бы многое.
Или есть предложения?

[ex-math]

anokata
Естественно, вы должны владеть школьной техникой: арифметические действия, решение линейных и квадратных уравнений, неравенств, преобразования алгебраических и тригонометрических выражений. Если с этим проблемы -- нужно ликвидировать.

[мат-ламер]

anokata
Мне кажется, что в Ваших занятиях должна какая-то система. И работать нужно согласно какому-то плану. Хотя фанатизм в этом деле тоже ни к чему. Если Вы собираетесь специализироваться в дискретных областях математики типа алгебры, то решать подряд все задачи из Демидовича - не самый оптимальный вариант. Там ведь около 4000 задач. Хотя самое начало - это должен знать любой математик, в том числе и алгебраист. Относительно плана и системы, то может в следующих постах подробней остановлюсь. Что касается элементарной математики, то Munin здесь высказался слишком категорично. Конечно что-то надо знать, чтобы это не стало тормозом. Конкретно по пятой задаче из Демидовича (бином Ньютона). Тут можно поступать разными способами. Очевидный (и не уверен, что лучший) способ следующий. Допустим, столкнулись с проблемой (допустим в Вашем случае бином). Берёте школьный учебник алгебры (допустим Виленкин). Читаете то, что Вам нужно. Там всё есть. Но можно для начала попытаться самому без посторонней помощи разобраться. Это будет полезней. Но если не получится, тогда уже берёте учебник или просите помощь форума. Конкретно по Вашей задаче. Пробуете применить индукцию. Чувствуете, чтобы её применить, надо что-бы выполнялось некоторое свойство относительно биномиальных коэффициентов. Вспоминаете про треугольник Паскаля. Допустим не вспомнили. Тогда доказываете это свойство по индукции. После чего можно открыть в Виленкине главу об комбинаторике и посмотреть, что там всё это доказывается совсем по-другому.

-- Вс мар 30, 2014 20:46:15 --

anokata в сообщении #843042 писал(а):

Вот если бы был курс, в котором действительно всё последовательно излагается…

Сомневаюсь, что такой курс есть. Но по каждому вопросу пишите - что-нибудь придумаем.

-- Вс мар 30, 2014 20:52:14 --

anokata в сообщении #843042 писал(а):

К чему вопрос то… вроде очевидно, что это в моём случае обречено и безуспешно.

Не бросайтесь из стороны в сторону. Не делайте скоропалительных выводов. В плане принятия глобальных жизненых решений - здесь тоже должна быть какая-нибудь система. Возможен такой подход. Намечаете себе план на год или два. Если чувствуете, что не получается в принципе (да и не интересно), тогда можно подумать о коррективке глобальных устремлений.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #843226 писал(а):

Намечаете себе план на год или два.

Предлагаю наметить план на месяц, и попытаться его выполнить. Если получится - на три месяца.

[ShW24]

Munin в сообщении #843364 писал(а):

мат-ламер в сообщении #843226 писал(а):

Намечаете себе план на год или два.

Предлагаю наметить план на месяц, и попытаться его выполнить. Если получится - на три месяца.

Поддерживаю. Составление планов может перерасти в дурную привычку (как у меня )

[anokata]

Munin в сообщении #843364 писал(а):

Предлагаю наметить план на месяц, и попытаться его выполнить. Если получится - на три месяца.

Кажется, в моём случае сперва надо научиться составлять и выполнять план на день, два, неделю.

[Munin]

Планы на день и на неделю элементарные: прочитать главу учебника, прорешать раздел задачника (правда, это в неделю может не уложиться...). Впрочем, пробуйте...

[мат-ламер]

anokata
Обратите внимание на следующую программу http://ium.mccme.ru/mathsc/mathsc.html. Это то, что должен знать школьник, поступающий в НМУ. Там вверху есть cсылка на образцы задач. (Запакованный файл *.ps. Можно читать через GSview.) Выкладывайте Ваши мысли по поводу этих задач сюда. (Даже если их нет совсем). Тогда мы сможем помочь Вам с программой дальнейших действий.

[Lukum]

to anokata
Вам можно взять какой-нибудь стандартный учебный план за основу какого-нибудь математического факультета кафедры алгебры и немного модифицировать его по своему вкусу или даже не делать этого.

[anokata]

Хорошая вещица мат-ламер, спасибо.
Смотрю, там тоже есть темы – многочлены и комбинаторика. Займусь чуть позже. Сейчас, в связи с пятой задачкой из "Демидовича" и задачей №92 из "Алгебра" - Гельфанд, Шень, решил попробовать самостоятельно разобраться в чём смогу, рассмотреть бином $(a+b)^n$ , попытаться вывести и доказать формулу коэффициентов, затем рассмотреть более общий случай $(a_1+a_2+…+a_k)^n$ аналогично. Лучше не отговаривайте и не подсказывайте пока. Думаю даже "побиться головой об стену" будет полезно, может хоть научусь с более сложными чем $(a+b)^2$ выражениями обращаться более ловко.

Lukum в сообщении #843967 писал(а):

to anokata
Вам можно взять какой-нибудь стандартный учебный план за основу какого-нибудь математического факультета кафедры алгебры и немного модифицировать его по своему вкусу или даже не делать этого.

примерно так и сделаю

Munin в сообщении #843473 писал(а):

Планы на день и на неделю элементарные: прочитать главу учебника, прорешать раздел задачника (правда, это в неделю может не уложиться...). Впрочем, пробуйте...

Вот именно, что бывает задача так увлечёт, что уже и план на день - "прочитать главу" никак не выполняется и мысли совсем не о том. Так что непонятно как тут планировать на месяц.

[anokata]

Вот что пока написалось, если интересно. Извиняюсь если что не так. Замечания приветствуются.


Рассмотрим выражение $(a+b)^k$ - бином, при различных $k$

$(a+b)^0=1$

$(a+b)^1=1a+1b$

$(a+b)^2=(a+b)^1(a+b)=a^2+2ab+b^2$

$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+2a^2b+ab^2+$ $+a^2b+2ab^2+b^3=$ $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
только коэффициенты

$121+121=1331$

$(a+b)^4=(a+b)^3(a+b)=(a+b)(a^3+3a^2b+ 3ab^2+b^3)=$ $a^4+3a^3b+3a^2b^2$+ $ab^3$ $+a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4=$ $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
только коэффициенты

$1331+1331=14641$

$(a+b)^5=(a+b)^4(a+b)=(a+b)(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)=$ $a^5+4a^4b+6a^3b^2$+ $4a^2b^3+ab^4$ $+a^4b+4a^3b^2+6a^2b^3+4ab^4+b^5=$ $a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
только коэффициенты

$1 4 6 4 1 + 1 4 6 4 1 = 1 5 10 10 5 1$

Обозначим коэффициенты $c_1^k ... c_i^k ... c_n^k$ то есть, коэффициент номер $i$ из разложения степени $k$
Заметим что $n=k+1$ Другими словами - количество слагаемых в раскрытом виде на единицу больше самой степени

$(a+b)^k=$
$c^0_k a^kb^{0}+c^1_k a^{k-1}b^{1}+ c^2_k a^{k-2}b^{2}+$ $...+c^i_k a^{k-i}b^{i}+... + c^{k-1}_k a^{1}b^{k-1} + c^k_{k}a^{0}b^{k}$ $ =\sum\limits^k_{i=0}c^i_k a^{k-i}b^{i}$

Рассмотрим коэффициенты

$$ \begin{tabular}{ccc} степень & Количество коэффициентов & коэффициенты \\0 & 1 & 1 \\1 & 2 & 1 1 \\2 & 3 & 1 2 1 \\3 & 4 & 1 3 3 1 \\4 & 5 & 1 4 6 4 1 \\5 & 6 & 1 5 10 10 5 1 \\. & . & ... \\$k$ & $n$ & $c_k^1 ... c_k^n$ \end{tabular} $$

Докажем теперь сперва что количество слагаемых в разложении будет на единицу больше степени бинома. Для нескольких первых это уже проверено. Допустим что это верно для $n$. То есть имеем $(a+b)^k=\sum\limits^k_{i=0}c^i_k a^{k-i}b^{i}$

Получим $(a+b)^{k+1}=(a+b)^k (a+b) = (a+b)\sum\limits^k_{i=0}c^i_k a^{k-i}b^{i} =$

$= (a+b)(c^0_k a^kb^{0}+c^1_k a^{k-1}b^{1}+ c^2_k a^{k-2}b^{2}+...$ $+c^i_k a^{k-i}b^{i}+... + c^{k-1}_k a^{1}b^{k-1} +$

$+ c^k_{k}a^{0}b^{k})=$

$=c^0_k a^{k+1}b^{0}+c^1_k a^{k}b^{1}+ c^2_k a^{k-1}b^{2}+...$ $+c^i_k a^{k-i+1}b^{i}+... + c^{k-1}_k a^{2}b^{k-1} + c^k_{k}a^{1}b^{k}+$
$+c^0_k a^kb^{1}+c^1_k a^{k-1}b^{2}+ c^2_k a^{k-2}b^{3}+...$ $+c^i_k a^{k-i}b^{i+1}+... + c^{k-1}_k a^{1}b^{k} +$
$+ c^k_{k}a^{0}b^{k+1}$

То есть при умножении суммы разложения предыдущей степени на $a$ получим $k$ слагаемых, из которых только один, c $a^{k+1}$ имеет вид не встречающийся в предыдущем разложении, т.е. $k-1$ слагаемое имеет тот же вид. Аналогично, при умножении суммы разложения предыдущей степени на $b$ получим $k$ слагаемых, из которых только один, c $b^{k+1}$ имеет вид не встречающийся в предыдущем разложении, т.е. $k-1$ слагаемое имеет тот же вид. Таким образом, после приведения подобных для схожих $k-1$ слагаемых, добавятся 2 новых, итого получим $k+1$ слагаемых. Что и требуется.

Обратим внимание на получающиеся новые коэффициенты:
$c^0_k, (c^1_k+c^0_k), (c^2_k+c^1_k), ...$ $,(c^i_k+c^{i-1}_k),...,(c^k_k+c^{k-1}_k),c^k_k$

Обозначим новые коэффициенты $C_{k+1}^i$ которые, как видно, получаются следующим образом:
$C_{k+1}^0=c^0_k$,

$C_{k+1}^1=c^1_k+c^0_k$,

$C_{k+1}^2=c^2_k+c^1_k$,
...
$C_{k+1}^i=c^i_k+c^{i-1}_k$,
...
$C_{k+1}^{k}=c^k_k+c^{k-1}_k$,

$C_{k+1}^{k+1}=c^k_k$
Примем это за их определение.

Поскольку $C$ и $c$ всё суть коэффициенты, будем однообразно их обозначать $C$

Получается что $C_{k+1}^0=C_{k+1}^{k+1}=C_{0}^{0}=C_{k}^{k}=1$
Точнее, $C_k^0=C_k^k=1$
Докажем индукцией по $k$. Для $C_0^0$, $C_1^0$, $C_1^2$ тривиально и уже проверено.
Допустим истинность $C_k^0=C_k^k=1$ для $k$
Тогда $C_{k+1}^0=C_k^0$ и $C_{k+1}^{k+1}=C_{k}^{k}$, а по предположению они равны, что и требовалось.

Запишем общее свойство из опреледения

$$ \begin{equation} \label{c1} C_{k+1}^i=C^i_k+C^{i-1}_k \end{equation} $$

Перейдём от рекурсивной формулы для C к замкнутой.

По ранее сказанному имеем

$C_0^0=1$

$C_1^0=1$

$C_1^1=1$

Далее

$C_2^0=1$, $C_2^2=1$

$C_2^1=C_1^0 + C_1^1=2$

в дальнейшем не будем выписывать первый и последний коэффициент, т.к. они всегда равны единице.

$C_3^1=C_2^0 + C_2^1=1+2=3$

$C_3^2=C_2^1 + C_2^2=2+1=3$

$C_4^1=C_3^0 + C_3^1=1+3=4$

$C_4^2=C_3^1 + C_3^2=3+3=6$

$C_4^3=C_3^2 + C_3^3=3+1=4$

$C_5^1=C_4^0 + C_4^1=1+4=5$

$C_5^2=C_4^1 + C_4^2=4+6=10$

$C_5^3=C_4^2 + C_4^3=6+4=10$

$C_5^4=C_4^3 + C_4^4=4+1=5$

Заметим, что $C_k^1=C_k^{k-1}=k$

Докажем это индукцией по $k$

Мы проверили это для первого (и нескольких первых значений). Допустим верность $C_k^1=C_k^{k-1}=k$ для $k$ и покажем, что тогда оно верно и для $k+1$

Действительно $C_{k+1}^{1}=C_{k}^{0}+C_{k}^{1}$ по $(1)$
С другой стороны по $(1)$ и предположению получим $C_{k+1}^{k-1+1}=C_{k+1}^{k}=C_{k}^{k-1}+C_{k}^{k}=C_{k}^{1}+C_{k}^{0}=C_{k+1}^{1}$
что и требовалось установить.

В общем виде это свойство таково $C_k^i=C_k^{k-i}$
Снова докажем это индукцией по $k$, имея уже базу индукции...

-- 02.04.2014, 15:45 --

(Оффтоп)

Не знаю, можно ли давать ссылку на файлохранилище с собственным документом в несколько страниц или требуется всё обязательно писать тут. Ибо с форматированием это не очень удобно. Но пока так.