Хочу быть математиком.

[Terraniux]

g______d в сообщении #839738 писал(а):

(Оффтоп)

Цитата:

А что там такого, что вызывает у Вас "рукулицо"?

Вообще все проблемы взяты из аналитической теории чисел. В английской версии есть хоть какой-то баланс.

(Оффтоп)

Интересно, где посмотреть чисто аналитические проблемы, не считая теоретико-числовых?

[g______d]

(Оффтоп)

Terraniux в сообщении #839791 писал(а):

Интересно, где посмотреть чисто аналитические проблемы, не считая теоретико-числовых?

Начните с английской Вики. Еще

http://www.math.ksu.edu/~ramm/papers/547.pdf
http://www.math.purdue.edu/~eremenko/uns1.html
http://www.eweb.unex.es/eweb/extracta/V ... 1Masly.pdf
http://aimpl.org/
http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_subspace_problem
http://mathoverflow.net/questions/12504 ... al-physics
http://mathworld.wolfram.com/SimonsProblems.html

[anokata]

Lukum и других благодарю заранее, за ссылки и за другое. Это уже немного помогает.

[мат-ламер]

anokata
Насчёт научного руководителя. Думаю, что пока рано об этом думать. Для начала нужно набраться знаний. Иначе Вы не будете знать даже с какой стороны подступиться к проблеме, которую он Вам даст.
Давайте с Вами промоделируем такую ситуацию. Допустим Вы к приходите к руководителю, а он Вам даёт к решению следующую проблему. Необходимо доказать равенство $\sum\limits_{k=1}^n \ctg^2 \frac{k\pi}{2n+1} = \frac {n(2n-1)}{3}$. Задача взята из первого тома Кострикина. Первая глава. Параграф про математическую индукцию. Вы пробуете решить и видите, что не видно никаких подходов к проблеме. Приходите к руководителю. Он Вам говорит, что неплохо для начала разобраться с частными случаями для небольших $n$. Некто Вася Пупкин рассмотрел эту проблему для $n=1$. А некто Пупик Васькин пытался решить эту задачу для $n=2$, но запутался в вычислениях. Попробуйте решить эту задачу для $n=2$. Не смущайтесь, если не решите. Давайте попробуем её решить вместе. Пишите Ваши мысли сюда.

[Munin]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #839942 писал(а):

Насчёт научного руководителя. Думаю, что пока рано об этом думать. Для начала нужно набраться знаний. Иначе Вы не будете знать даже с какой стороны подступиться к проблеме, которую он Вам даст.

Хороший научрук сначала даст проблему, к которой питомец будет знать, как подступиться. Но всё равно почувствует, где раки зимуют :-)

А, вы это и делаете...

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #839952 писал(а):

Хороший научрук сначала даст проблему, к которой питомец будет знать, как подступиться.

Скорее, даст к задаче литературу, ознакомившись с которой можно набраться идей для решения поставленной задачи :)

[Munin]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #840006 писал(а):

Скорее, даст к задаче литературу, ознакомившись с которой можно набраться идей для решения поставленной задачи :)

Одно другого не исключает :-) В любом случае, не даст такой камень, который нельзя разгрызть.

[anokata]

воспользовавшись тем, что:
$cos\frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$ctg^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{1-cos2\alpha }$

$cos2\alpha =2cos^2\alpha -1$

при $n=2$ имеем $ctg^2\frac{\pi }{5}+ctg^2\frac{2\pi }{5}=(1+\frac{2\sqrt{5}}{5})+(1-\frac{2\sqrt{5}}{5})=2$
Сознаюсь, тут помогла Mathematica, ибо я постоянно где-нибудь ошибаюсь и приходится перепроверять, а раз я не верю, что и так не ошибусь, то в итоге проверяю ещё и спец. софтом.

К общему доказательству: были мысли, что тут замешаны тригонометрические ряды, с которым я впрочем, не знаком. Или что это возможно связано с какой-либо характеристикой геометрических фигур (периметром, площадью \ может хоть правильных многоугольников), должна же была эта формула откуда-то взяться, но наверняка не из таких простых примеров (поглядел на несколько первых сумм углов и значений всей суммы - идей не появилось). Была идея воспользоваться разложением в ряд Тейлора. Очевидно, пока безуспешно.

[g______d]

(Оффтоп)

Цитата:

Скорее, даст к задаче литературу, ознакомившись с которой можно набраться идей для решения поставленной задачи :)
Одно другого не исключает В любом случае, не даст такой камень, который нельзя разгрызть.

Многие хорошие руководители сначала дают литературу, а потом по результатам ее прочтения/обсуждения дают задачу.

[anokata]

вот ещё бред, который наверняка с ошибками

Let
$f(n)=\sum\limits^n_{k=1}ctg^2\frac{k\pi}{2n+1}=\frac{n(2n-1)}{3}$
then
$f(n+1)=?$

how find form for f(n+1)?

$f(1)=ctg^2\frac{\pi}{3} $

$f(2)=ctg^2\frac{\pi}{5}+ctg^2\frac{2\pi}{5}$

$f(3)=ctg^2\frac{\pi}{7}+ctg^2\frac{2\pi}{7}+ctg^2\frac{3\pi}{7}$

$f(4)=ctg^2\frac{\pi}{9}+ctg^2\frac{2\pi}{9}+ctg^2\frac{3\pi}{9}+ctg^2\frac{4\pi}{9} = ctg^2\frac{\pi}{9}+ctg^2\frac{2\pi}{9}+f(1)+ctg^2\frac{4\pi}{9} $

$f(5)=ctg^2\frac{\pi}{11}+ ctg^2\frac{2\pi}{11}+ ctg^2\frac{3\pi}{11}+ ctg^2\frac{4\pi}{11}+ ctg^2\frac{5\pi}{11} $

$f(6)=ctg^2\frac{\pi}{13}+ ctg^2\frac{2\pi}{13}+ ctg^2\frac{3\pi}{13}+ ctg^2\frac{4\pi}{13}+ ctg^2\frac{5\pi}{13}+ ctg^2\frac{6\pi}{13}$

try (for only even n?)
$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha \sin\beta}$
как тогда $ctg^2$?

разложим каждый $ctg^2 \alpha$ in $\frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha}$
приведём к общему знаменателю, в числителе заменим
произведение cos по $\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}$
переобозначим каждый коэффициент угла и получим ряд
$\frac{c_1 \cos(b_1 \pi) + c_2 \cos(b_2 \pi) \dots + c_m \cos(b_m\pi) + ?n?1 }{(1-\cos(a_1 \pi))...(1-\cos(a_n \pi))} $
раскроем и в знаменателе скобки.
поделим на $\frac{n(2n-1)}{3}$ и домножим на знаменатель. Теперь если привести коэффициенты, то они должны совпасть.
$\frac{f(n)}{\frac{n(2n-1)}{3}} = 1$

$ c_1 \cos(b_1 \pi) + c_2 \cos(b_2 \pi) \dots + c_m \cos(b_m\pi) + K = d_1 \cos(a_1 \pi) + d_2 \cos(a_2 \pi) \dots + c_m \cos(a_m\pi) + L$

сумма квадратов наводит на теорему пифагора для n-мерного пространства, только котангенсы не к месту кажется.

[мат-ламер]

anokata.
Последний Ваш пост я не понял. Что касается предпоследнего, то всё правильно. Интересно, $\cos \frac{2\pi}{5}$ Вы сами посчитали, или помнили, или компьютер помог? Что касается обобщения этого равенства на произвольное $n$, то эта задача сложноватая. Решение я увидел в школьном сборнике задач по алгебре Алфутовой и Устинова (задача 7.78). Рассмотрите уравнение $(z+1)^n=(z-1)^n$ и посчитайте сумму квадратов её корней. Причём двумя способами. Сначала просто раскрыв скобки. А затем выразив явно корни этого уравнения через корни из единицы. Перед этим можно почитать учебники по темам "Комплексные числа. Формуала Муавра. Корни из единицы". Кстати, с помощью корней из единицы легко находится $\cos \frac{2\pi}{5}$. И тут возникают несколько вопросов. Каким образом можно самому дойти до этого решения? (тут у меня есть соображения. Может в следующих постах напишу). Почему у Кострикина эта задача в главе про индукцию? Причём здесь она? Кострикин предлагает в лоб решить эту задачу для $n=3$. Но там котангенс через радикалы не вычисляется.

-- Пн мар 24, 2014 21:32:34 --

anokata в сообщении #839178 писал(а):

Дело ещё в том, что уже вначале не совсем ясно как изучать - в этом бы уже помощь не помешала.

А Вы бы не могли конкретизировать свой вопрос. Поскольку эта тема слишком обширна. Обо всём вряд ли напишешь. Хотя бы по тем моментам, которые Вас смущают.

[CyberBeast]

anokata в сообщении #839178 писал(а):

Дело ещё в том, что уже вначале не совсем ясно как изучать - в этом бы уже помощь не помешала.

Присоединяюсь к вопросу ТС. Сходная ситуация: возраст уже не малый, потеряно достаточно времени, есть сильное желание и способности заниматься математикой, но не знаю, с какой стороны начать. В смысле, хочу начать с основы всех основ, которая позволит потом плавно перейти на новые уровни абстракции. Что почитать по этому поводу? Сейчас читаю Новикова "Дискретная математика". Ввиду неформального синтаксиса и кучи опечаток, хочу поискать другую литературу.

[anokata]

Может это ещё поможет. Вот примерный список того что уже читал (не обязательно полностью, наоборот - зачастую лишь частично). По порядку во времени:
Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. - Математический анализ. IX—Xкл
Александров А.Д. Математика, её содержание, методы и значение т1
Оре - приглашение в теорию чисел
Мендельсон - введение в математическую логику
Калужкин - введение в общую алгебру
Концепции современной математики
Гильберт Д., Бернайс П. - Основания математики
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. - Математическая логика
Новиков - математическая логика и основания математики - элементы математической логики
Марков А.А. Элементы математической логики
Бурбаки - Теория множеств
Френкель А.А., Бар-Хиллел И. - Основания теории множеств
Куратовский К., Мостовский А. - Теория множеств
Коэн - Теория множеств и континуум-гипотеза
Барвайс Справочная книга по математической логике: теория множеств
Чёрч - Введение в математическую логику
Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. - Математическая логика
Маклейн С. - Категории для работающего математика
Голдблатт Топосы Категорный анализ логики
Фрид Э.Элементарное введение в абстрактную алгебру
Кострикин А.И - Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры
ван дер Варден Алгебра
Математический анализ. Часть I Зорич В.А
Курс чистой математики Харди

Вот сейчас и почитываю Курс чистой математики Харди, и Математический анализ. Часть I Зорич В.А, дабы разобраться с анализом и немного комплексным анализом. Две книги сразу разного уровня строгости и времени, дают некоторый контраст, что способствует лучшему пониманию одной и той же темы с разных сторон. Хотя может, что лучше есть?

-- 25.03.2014, 16:15 --

мат-ламер
a $\cos\frac{2\pi}{5}$ из книги И.М. Гельфанд, С.М.Львовский, А.Л.Тоом - Тригонометрия

[Munin]

Мдя. Всё это сильно односторонне, и с сильным забеганием вперёд по некоторым вещам. Забегать вперёд в математике нельзя, как и в физике.

[anokata]

Munin в сообщении #840597 писал(а):

Мдя. Всё это сильно односторонне, и с сильным забеганием вперёд по некоторым вещам. Забегать вперёд в математике нельзя, как и в физике.

Почему же?