Физика для «математиков»

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

Ms-dos4
Меня подставили!

kote в сообщении #840779 писал(а):

Я бы определял по аналогии с плотностью вероятности: для тела $A\subset \mathbb R^3$ это такая функция $\rho : A \to \mathbb R$, что для любого измеримого $B \subseteq A$ интеграл $\[\iiint\limits_B \rho dV\]$ равен массе $B$. (Понятие измеримости и смысл, а котором берется интеграл, варьировать по вкусу.)

1) Если $A$ -- тело, то что такое $B$?
2) Если $A$ -- точка, что вы тогда будете делать?
3) Может быть $\rho \colon \operatorname{Power} \mathbb R^3 \to \mathbb R$? $\operatorname{Power} X$ -- множество всех подмножеств множества $X$. Ибо, если у вас $\rho\colon A \subset \mathbb R^3 \to \mathbb R$, то вам придется определять $\rho$ для любого $A$ и плотностей у вас получится очень много.
4) А если $A$ не содержит измеримых подмножеств, что делать тогда?
5) Пусть есть две последовательности $\left\lbrace A^\pm_n \right\rbrace_{n=0}^\infty $ таких что $\forall n \in \mathbb N \Rightarrow A \subseteq A^+_n$ и $A \supseteq A^-_n$. Причем все $A^\pm_n$ -- измеримы и $A^+_{n+1} \subset A^+_n$ и $A^-_{n+1} \supset A^-_n$. Так вот, если такие $A$, что $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname{\text{Мера}}(A^+_n \setminus A^-_n) \not = 0$? Если да, то что делать с вашим определением плотности?

[Nemiroff]

EvilPhysicist в сообщении #840865 писал(а):

А если $A$ не содержит измеримых подмножеств, что делать тогда?

Постулировать, что содержит. И является измеримым само по себе. И ещё кучу свойств приписать.

[EvilPhysicist]

Nemiroff в сообщении #840898 писал(а):

Постулировать, что содержит. И является измеримым само по себе. И ещё кучу свойств приписать.

Тсс! Nemiroff, пожалуйста, не подсказывайте. Это разрушит цель -- показать через какое количество математических усилий надо пройти, чтобы математически строго определить даже такую простую вещь как плотность.

[Munin]

EvilPhysicist
Я уже этого не понимаю :-)

[Nirowulf]

kote

Математика $-$ наука письменная, а физика $-$ устная=)

В физике есть таинственный для математиков ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. Мне кажется, что лучшая попытка объяснить математику, что такое физический смысл это вот:

Chaource писал(а):

Физическим смыслом величины X называется такое слово, которое помогает запомнить все известные уравнения теоретической физики, в которых присутствует Х. Это множество конечно, и в каждом уравнении Х обозначает какую-либо (везде одну и ту же) физическую величину (энергия, частота и т.д.).

Формально можно просто определить "физический смысл" как конечное множество уравнений, где есть Х.

Ну, а ещё вы хотели математических книжек по физике.

Вдобавок к уже упоминавшимся Арнольду и фон Нейману есть ещё "Лекции по статистической физике" и "Метод вторичного квантования" Феликса Березина. Это, кстати, создатель того самого "суперанализа".

Странно, что о них никто до меня не вспомнил=)

Ляховский, Болохов "Группы симметрии и элементарные частицы", написана физиками-теоретиками, которые занимаются алгебро-групповым подходом к КТП.

В.Е.Тарасов "Квантовая механика. Лекции по основам теории". Написана на основе курса, который автор читал для прикладных математиков из МАИ.

Не путать с Л. В. Тарасовым!!! У Л.В. тоже есть книга по квантам, но она написана для инженеров, для тех же физиков-теоретиков она уже слишком примитивна.

[Nirowulf]

kote

А, ну и как я же мог забыть о: С.С. Хоружий Введение в алгебраическую квантовую теорию поля. Думаю, что эта книжка сорвёт вам крышу почище Арнольда=)

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #841035 писал(а):

Я уже этого не понимаю

Чего -- этого?

[Munin]

Nirowulf
Злой :-)

EvilPhysicist
Ваших формул :-) В принципе, наверное, могу разобраться, но навскидку - не понимаю :-)

[g______d]

Боголюбов, Логунов, Оксак, Тодоров, "Общие принципы квантовой теории поля".

-- Ср, 26 мар 2014 12:29:23 --

EvilPhysicist в сообщении #840865 писал(а):

5) Пусть есть две последовательности $\left\lbrace A^\pm_n \right\rbrace_{n=0}^\infty $ таких что $\forall n \in \mathbb N \Rightarrow A \subseteq A^+_n$ и $A \supseteq A^-_n$. Причем все $A^\pm_n$ -- измеримы и $A^+_{n+1} \subset A^+_n$ и $A^-_{n+1} \supset A^-_n$. Так вот, если такие $A$, что $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname{\text{Мера}}(A^+_n \setminus A^-_n) \not = 0$? Если да, то что делать с вашим определением плотности?

Такие две последовательности существуют для любого множества. Более того, есть некоторая пара последовательностей, подходящая сразу для всех множеств :)

EvilPhysicist в сообщении #840865 писал(а):

4) А если $A$ не содержит измеримых подмножеств, что делать тогда?

Такого тоже не бывает.

[kote]

EvilPhysicist в сообщении #840865 писал(а):

1) Если $A$ -- тело, то что такое $B$?
2) Если $A$ -- точка, что вы тогда будете делать?
3) Может быть $\rho \colon \operatorname{Power} \mathbb R^3 \to \mathbb R$? $\operatorname{Power} X$ -- множество всех подмножеств множества $X$. Ибо, если у вас $\rho\colon A \subset \mathbb R^3 \to \mathbb R$, то вам придется определять $\rho$ для любого $A$ и плотностей у вас получится очень много.
4) А если $A$ не содержит измеримых подмножеств, что делать тогда?
5) Пусть есть две последовательности $\left\lbrace A^\pm_n \right\rbrace_{n=0}^\infty $ таких что $\forall n \in \mathbb N \Rightarrow A \subseteq A^+_n$ и $A \supseteq A^-_n$. Причем все $A^\pm_n$ -- измеримы и $A^+_{n+1} \subset A^+_n$ и $A^-_{n+1} \supset A^-_n$. Так вот, если такие $A$, что $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname{\text{Мера}}(A^+_n \setminus A^-_n) \not = 0$? Если да, то что делать с вашим определением плотности?

Слегка формализуем: $A$ — измеримое множество (про $\mathbb R^3$ я погорячился — мне на самом деле пофиг, хоть $\mathbb C^\infty$ возьмите), на каждом измеримом подмножестве которого определены меры $V$ (объем) и $m$ (масса). Всё остальное без изменений.
1. Теперь так не бывает. Я думал, и так было очевидно, что A измеримо. Что у вас за тело такое, у которого Вы не знаете объем?
2. Вы имеете в виду, что $A$ состоит из одной точки? Буду делать то же, что и в любом другом случае.
3. Не понял вопроса. Если Вы о том, что плотность определена неоднозначно, так я об этом сразу же и написал.
4. $A$ содержит себя и пустое множество, неужели Вам мало? :-) Если серьезно, я же не фиксировал понятие измеримости в $\mathbb R^3$ (и сейчас не фиксирую). Если Вы сами себе подсунули плохую меру $V$, себя и вините.
5. Насколько я понимаю, Вы забыли написать, что $\displaystyle\bigcap\limits_{n=0}^\infty A^+_n = \bigcup\limits_{n=0}^\infty A^-_n = A$, то есть мера $V$ не является счетно-аддитивной (иначе я не понял, в чём может быть проблема). Ну вам, физикам, виднее, должен ли объем быть счетно-аддитивным. В любом случае, я не понял, как это портит мое определение.

EvilPhysicist в сообщении #840907 писал(а):

Это разрушит цель -- показать через какое количество математических усилий надо пройти, чтобы математически строго определить даже такую простую вещь как плотность.

Математические усилия — это когда формулировка теоремы занимает две страницы, а доказательство еще двадцать, и ты должен во всём этом разобраться за одну ночь (и еще, желательно, поспать). А ваша плотность — ерунда, каждый школьник с этим справится.

-- 26.03.2014, 22:35 --

g______d в сообщении #840782 писал(а):

Ввести плотность как меру, значение которой на каждом (измеримом) подмножестве тела равно массе этого подмножества.

Это же и есть масса, почему Вы называете это плотностью?

-- 26.03.2014, 22:44 --

(Оффтоп)

g______d в сообщении #841265 писал(а):

Более того, есть некоторая пара последовательностей, подходящая сразу для всех множеств :)

Только в том случае, когда объединение всех измеримых множеств лежит в измеримом множестве с ненулевой мерой.

[Bliss]

Вероятно, плотность - это количество точек на единицу длины.
1 м = 100 см = 1000 мм итд

Выражайте дробными числами 1.000000000
Можно и витками спирали описать, крутите вектор - это одно и тоже (обсуждалось ранее)

Гауссов интеграл - чем, вам, не "аналог" плотности

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Bliss в сообщении #841351 писал(а):

Вероятно, плотность - это количество точек на единицу длинны.
1 м = 100 см = 1000 мм итд

Выражайте дробными числами 1.000000000
Можно и витками спирали описать - это одно и тоже (обсуждалось ранее)

Это какой-то шифр.

kote в сообщении #841267 писал(а):

Математические усилия — это когда формулировка теоремы занимает две страницы, а доказательство еще двадцать, и ты должен во всём этом разобраться за одну ночь (и еще, желательно, поспать).

kote в сообщении #841267 писал(а):

на каждом измеримом подмножестве которого определены меры $V$ (объем) и $m$ (масса)

Це плохо. Ну вот у вас кошак. Масса кошака --- пять кило. А чтобы почки кошака взвесить --- это его резать придётся. А резать кошаков нельзя. Так что масса там может и определена, зато неизвестна. "Интеграл равен массе". Может, и равен. Но пока не разрежем, не узнаем. А резать нельзя.

[kote]

Bliss
Я ничо не понял. Вы темой не ошиблись? (Это не ирония.)

Nemiroff в сообщении #841355 писал(а):

Це плохо. Ну вот у вас кошак. Масса кошака --- пять кило. А чтобы почки кошака взвесить --- это его резать придётся. А резать кошаков нельзя. Так что масса там может и определена, зато неизвестна. "Интеграл равен массе". Может, и равен. Но пока не разрежем, не узнаем. А резать нельзя.

Не трожь котэ!!1 (гладить можно) Я же не утверждал, что умею находить плотность. Более того, я не утверждал, что такая функция вообще существует.

[Nemiroff]

kote в сообщении #841361 писал(а):

Более того, я не утверждал, что такая функция вообще существует.

Ну у кота-то плотность есть. Правда, переменная.
А главное, это математику хорошо, когда есть теорема существования. А тут какой особый смысл в утверждении, если его не проверить? Можно проверять следствия, впрочем.

[g______d]

kote в сообщении #841267 писал(а):

Это же и есть масса, почему Вы называете это плотностью?

Вопрос чисто терминологический. Хорошо, если мера абсолютно непрерывна по отношению к мере Лебега, то интеграл по ней является интегралом по мере Лебега с каким-то весом, и вес как раз будет плотностью в физическом смысле (теорема Радона—Никодима). Но что делать, если нет? Например, если у меры есть заряды?
Если подумать, чем вообще хорошо понятие плотности: тем, что если мы знаем плотность, то для любого подмножества есть способ вычислить его массу, путем интегрирования, и это более-менее единственное свойство, которое нам нужно. Получаем определение меры :)

g______d в сообщении #841265 писал(а):

Только в том случае, когда объединение всех измеримых множеств лежит в измеримом множестве с ненулевой мерой.

Обычно объединение всех измеримых множеств само является измеримым множеством. Его мера может оказаться бесконечной, но кто это запрещал?