1) Если
-- тело, то что такое
?
2) Если
-- точка, что вы тогда будете делать?
3) Может быть
?
-- множество всех подмножеств множества
. Ибо, если у вас
, то вам придется определять
для любого
и плотностей у вас получится очень много.
4) А если
не содержит измеримых подмножеств, что делать тогда?
5) Пусть есть две последовательности
таких что
и
. Причем все
-- измеримы и
и
. Так вот, если такие
, что
? Если да, то что делать с вашим определением плотности?
Слегка формализуем:
— измеримое множество (про
я погорячился — мне на самом деле пофиг, хоть
возьмите), на каждом измеримом подмножестве которого определены меры
(объем) и
(масса). Всё остальное без изменений.
1. Теперь так не бывает. Я думал, и так было очевидно, что A измеримо. Что у вас за тело такое, у которого Вы не знаете объем?
2. Вы имеете в виду, что
состоит из одной точки? Буду делать то же, что и в любом другом случае.
3. Не понял вопроса. Если Вы о том, что плотность определена неоднозначно, так я об этом сразу же и написал.
4.
содержит себя и пустое множество, неужели Вам мало? :-) Если серьезно, я же не фиксировал понятие измеримости в
(и сейчас не фиксирую). Если Вы сами себе подсунули плохую меру
, себя и вините.
5. Насколько я понимаю, Вы забыли написать, что
, то есть мера
не является счетно-аддитивной (иначе я не понял, в чём может быть проблема). Ну вам, физикам, виднее, должен ли объем быть счетно-аддитивным. В любом случае, я не понял, как это портит мое определение.
Это разрушит цель -- показать через какое количество математических усилий надо пройти, чтобы математически строго определить даже такую простую вещь как плотность.
Математические усилия — это когда формулировка теоремы занимает две страницы, а доказательство еще двадцать, и ты должен во всём этом разобраться за одну ночь (и еще, желательно, поспать). А ваша плотность — ерунда, каждый школьник с этим справится.
-- 26.03.2014, 22:35 --Ввести плотность как меру, значение которой на каждом (измеримом) подмножестве тела равно массе этого подмножества.
Это же и есть масса, почему Вы называете это плотностью?
-- 26.03.2014, 22:44 --(Оффтоп)
Более того, есть некоторая пара последовательностей, подходящая сразу для всех множеств :)
Только в том случае, когда объединение всех измеримых множеств лежит в измеримом множестве с ненулевой мерой.