Астроида

[Smolselena]

помогите пожалуйста решить.Найти радиус окружности с центром в точке (0,0) которая делит дугу астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ , $x,y>0$, на 3 дуги равной длины.
Решение: я нашла дугу астроиды,она равна $6a$ и нашла естественно дуги астроиды,которые делятся окружностью($a/2$), потом я задала астроиду параметрически, и $\alpha$- это угол наклона радиуса окружности из точки N (принадлежит и окружности и астроиде) к оси Ox .Затем приравниваю интеграл к $a/2$

$${3a/2}\int_{0}^{\alpha} \sin{2t} dt={a/2}$$

, в итоге у меня получается что $\cos{\alpha}={2/3}$, дальше я могу написать координаты точки N (${R\cos{\alpha}},{R\sin{\alpha}}$) и подставив их в уравнение астроиды я могу выразить радиус.Но я наверно что-то не так делаю, потому,что нарисовав график астроиды и окружности в пакете Mathematica там явно дуга не делится на 3 части

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Narn]

Точку вы нашли из параметризации астроиды, а подставляете почему-то в окружность.

[Smolselena]

я нахожу координаты точки N и подставляю их в уравнение астроиды а не окружности

[svv]

В Вашем интеграле верхний предел — это некоторое значение $T$ параметра, до которого Вы хотите найти длину дуги. Но это вовсе не полярный угол $\alpha$ соответствующей точки:
$\frac y x = \frac{a\sin^3 t}{a\cos^3 t}=\tg^3 t$
А с другой стороны
$\frac y x = \frac {r\sin\alpha}{r\cos\alpha}=\tg\alpha$
Отсюда
$\tg^3 t = \tg\alpha$
Вот какая между ними связь.

Кроме того (если не обращать внимания на вышесказанное), не $\cos\alpha=2/3$, а $\cos^2\alpha=2/3$.

[Narn]

Я про то, как вы находите координаты точки N. Параметризация же у вас такая:

$$x(\alpha) = a \cos ^ 3 (\alpha) $$

,

$$ y(\alpha) = a \sin ^ 3 (\alpha) $$

. Вот туда и надо подставить (верно найденный вами) косинус, который 2 /3.

svv, а откуда квадрат? Я вроде пересчитал, все правильно у ТС.

А, все, вижу. Там же аргумент удвоенный.

[svv]

Длина дуги от $t=0$ до $t=T$ пропорциональна $\sin^2 T$, верно?
Конечной точке «четвертушки» астроиды соответствует $T=1$, при котором $\sin^2 T=1$.
Значит, длина дуги получится в три раза меньше, если взять $\sin^2 T=\frac 1 3$, или $\cos^2 T=\frac 2 3$.

UPD: не заметил, что вопрос снят, ладно, пускай будет.

[Smolselena]

да, я ошиблась ,когда писала свое решение, в тетрадке угол нашла верно, но это ничего не меняет, я не могу понять как мне найти радиус окружности?

[svv]

Так Вы поняли, что в записи $\cos^2 T=\frac 2 3$ величина $T$ — это ещё не угол $\alpha$?

[Smolselena]

хорошо,это не угол тогда что это? и как мне дальше действовать?

[svv]

Это значение параметра, которое Вам надо подставить в параметрическое уравнение и найти координаты соответствующей точки $x$ и $y$. А потом найти расстояние этой точки от начала координат: $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

[Smolselena]

спасибо ,вроде правильно, получился ответ ${a/{\sqrt3}}$

[svv]

Да, это правильно:

$$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(a\cos^3 t)^2+(a\sin^3 t)^2}=a\sqrt{(\cos^2 t)^3+(\sin^2 t)^3}=a\sqrt{\left(\frac 2 3\right)^3+\left(\frac 1 3\right)^3}=\frac a{\sqrt 3}$$