Ввиду стопорения темы, подведу промежуточный итог. Итак, в головном сообщении было отмечено, что при резком локальном возмущении волновой функции уравнения Клейна-Гордона (УКГ), оно распространяется на малые расстояния

со световой скоростью, а далее имеет вид обычный досветовой волны.
SergeyGubanov'ым было предложено исследовать в данном аспекте решение одномерного уравнения Клейна-Гордона. Munin нашел такое решение в Справочнике Полянина по линейным уравнениям математической физике.
Найденное решение оказалось весьма удивительным. Оказалось, что в одномерном случае УКГ локальное возмущение распространяется со световой скоростью на любые расстояния влево и вправо от места начального возмущения. Ввиду столь неожиданного результата было решено удостовериться в справедливости найдено решения. Но здесь возникли трудности математического и поискового плана. На первых порах автор темы пытался найти требуемое решение, непосредственно исходя из постановки задачи, но сходу проблему не удалось решить.
Вот некоторые из последних сообщений по теме:
С выкладками у меня тяжело. Пока стопор.
Преобразование Фурье от уравнения делается довольно просто. А вот потом вы делаете обратное преобразование от решения. Делаете по одной координате, по другой, по третьей, и так далее.
Подсказка: придётся использовать табличные значения преобразования Фурье, так что запаситесь справочниками или автоматическими системами типа Wolfram Alpha.
Основная теорема о вычетах
Я вижу четыре следующие варианта уточнения решения.
1. Поиск новых научных источников, в которых имеется интересующее нас решение. И здесь я возлагаю определенные надежды на эрудированного г. Munin'а. Сам я, потратив пару часов, не нашел в интернете требуемых источников.
2. Поиск требуемого решения самостоятельно с возможной помощью участников диспута. SergeyGubanov называет метод вычетов. Конечно, этот метод я использовал. С его помощью легко вычисляется интегрирование по энергетической спектральной переменной

Остается интегрирование по импульсной переменной

Надо найти следующий определенный интеграл

Здесь

- постоянная величина.
В справочнике Г. Бейтмен, А. Эрдели "Таблицы интегральных преобразований" я не нашел требуемого решения. Хорошим справочником по определенным интегралам я пока не обладаю.
3. Использование решения для трехмерного варианта УКГ (формула (3) в стартовом сообщении), которое надо проинтегрировать в бесконечных пределах по переменным

и

в результате чего получится требуемое решение

Задача также непростая.
4. Непосредственная проверка правильности решения Полянина, путем его подстановки в одномерное УКГ с правой частью в виде дельта-функции. Этот вариант также трудоемок, ввиду необходимости вычисления производных первого и второго порядка от функций Хевисайда и Бесселя, в то время, как последние содержат в качестве аргумента новые функции.
Ввиду невозможности быстрого решения задачи я решил взять паузу для поиска решения, не без надежды получить помощь от участников диспута.
С уважением О.Львов