Светоскоростной характер волновых уравнений КМ

[SergeyGubanov]

Берём одномерное УКГ

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = - m^2 \psi. \eqno(1) $$

Считая константу $m^2$ малой, ищем решение в виде разложения в ряд по $m^2$. Поправка к гармонической волне:

$$ \psi(t, x) = \cos( |p| t - p x) - \frac{m^2 t}{2 |p|} \sin( |p| t - p x) + O(m^4). \eqno(2) $$

"Светоскоростной характер" имеет место когда

$$ \frac{m^2 t}{2 |p|} \ll 1. \eqno(3) $$

Для трёхмерного УКГ оценка (3) остаётся в силе.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #836326 писал(а):

Считая константу $m^2$ малой, ищем решение в виде разложения в ряд по $m^2$. Поправка к гармонической волне

Вы рассматриваете частицу с постоянной ультрарелятивистской скоростью $(m \ll |p|, v \approx c)$. Далее берете решение для обычного светоскоростного ВУ, и затем доказываете, что в случае УКГ поравка к скорости света будет мала при малых t. Но очевидно, что эта поправка одинакова мала при любых t. Что-то у Вас не так?

Требуется другое, - при одномерном варианте УКГ найти характеристическое решение, отвечающее дельта-функции в правой части уравнения.

[Munin]

Lvov в сообщении #836429 писал(а):

Вы рассматриваете частицу с постоянной ультрарелятивистской скоростью $(m \ll |p|, v \approx c)$.

Нет, другой вариант интерпретации этого приближения: рассматривать волну в малой области пространства, такой что характерные размеры волны $L\ll 1/m.$ На языке частиц и квантовой физики: рассматривать процессы при таких больших энергиях, когда массой $m$ можно пренебречь, и частица движется так же, как безмассовая. При этом, за счёт квантовых законов, она может двигаться и не с ультрарелятивистской скоростью - быть далеко от массовой поверхности - но вот отличия массовой поверхности от массовой поверхности безмассовой частицы (светового конуса) незначительны, пренебрежимо малы.

В пространстве координат, мы находимся вблизи вершины светового конуса, заметаемого функцией Грина, и далеко от области порядка комптоновской длины волны $1/m,$ где внутри конуса начинаются чередования гребней волн. В пространстве импульсов, напротив, далеко от вершины, где массовая поверхность практически слилась со световым конусом.

-- 13.03.2014 21:25:40 --

Lvov в сообщении #836429 писал(а):

Требуется другое, - при одномерном варианте УКГ найти характеристическое решение, отвечающее дельта-функции в правой части уравнения.

Вы до сих пор не скачали себе справочник Полянина, я не понимаю?

Фундаментальное решение (обозначения те же, что в предыдущей цитате из Полянина):

$$\mathcal{E}(x,t)=\dfrac{\vartheta(at-|x|)}{2a}J_0\left(\dfrac{c}{a}\sqrt{a^2t^2-x^2}\right).$$

[Lvov]

Munin в сообщении #836518 писал(а):

Вы до сих пор не скачали себе справочник Полянина, я не понимаю?
Фундаментальное решение (обозначения те же, что в предыдущей цитате из Полянина):

$$\mathcal{E}(x,t)=\dfrac{\vartheta(at-|x|)}{2a}J_0\left(\dfrac{c}{a}\sqrt{a^2t^2-x^2}\right).$$

Г.Munin, дело в том, что поскольку Вы ранее не давали базового решения УКГ для одномерного случая, я решил, что у Полянина его нет, и пытался найти решение самостоятельно. Теперь справочник я скачал. Спасибо за науку.
К сожалению, у Полянина рассматривается не комплексная, а вещественная функция.

Далее я занялся анализом приведенного решения, и не могу понять причину такового.
Итак решение отлично от нуля при $|x|<t,$ то есть волна распространяется со скоростью света в обе стороны от начала координат. Казалось бы, что близ гребней волны и при меньших значениях $|x|$ функция должна быстро уменьшаться со временем, образуя относительно медленно расширяющийся колокол вокруг $x=0.$ Однако из формулы следует, что функция максимальна по величине на гребне свтоскоростной волны в любое время ввиду того, что $J_0(0)=1.$, а $|J_0(x>0)|<1.$
То есть светоскоростная волна в отличие от трехмерного случая здесь не затухает с расстоянием и временем, если не обращать внимания на нормировочное уменьшение функции.
Удивительно! Кажется, что-то здесь не так?

[Munin]

Lvov в сообщении #836777 писал(а):

Г.Munin, дело в том, что поскольку Вы ранее не давали базового решения УКГ для одномерного случая, я решил, что у Полянина его нет

А название справочника вам ни на что не намекает... :-)

Lvov в сообщении #836777 писал(а):

К сожалению, у Полянина рассматривается не комплексная, а вещественная функция.

Зато для двух случаев: для действительной и мнимой массы. Я полагаю, из них можно сконструировать то, что вас интересует.

Lvov в сообщении #836777 писал(а):

Казалось бы, что близ гребней волны и при меньших значениях $|x|$ функция должна быстро уменьшаться со временем, образуя относительно медленно расширяющийся колокол вокруг $x=0.$

А куда она будет расширяться при одном пространственном измерении-то?

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #836429 писал(а):

затем доказываете, что в случае УКГ поравка к скорости света будет мала при малых t

Не совсем. Там у меня поправка к $p$-моде волнового поля, на сколько сильно эта мода портится.

Lvov в сообщении #836429 писал(а):

Требуется другое, - при одномерном варианте УКГ найти характеристическое решение, отвечающее дельта-функции в правой части уравнения.

Ну зачем же так усложнять себе жизнь? Подставьте в мою простую формулу (3) вместо $t$ характерный масштаб $L=t$. Получите, что на масштабе $L$ таком что

$$ L \ll \frac{2 |p|}{m^2} \eqno(3') $$

имеет место ваш "светоскоростной характер", а если говорить чуть более точно, то на таком масштабе $p$-моду массивного волнового поля трудно отличить от $p$-моды безмассового волнового поля.

[Lvov]

Munin в сообщении #836784 писал(а):

Зато для двух случаев: для действительной и мнимой массы. Я полагаю, из них можно сконструировать то, что вас интересует.

Думаю мнимая масса тут ни при чем. Достаточно определить отрицательно-частотную часть полученного решения. Сейчас же имеем смесь положительных и отрицательных частот, т.е. сумму электронного и позитронного решений.

Munin в сообщении #836784 писал(а):

А куда она будет расширяться при одном пространственном измерении-то?

Вдоль этого пространственного измерения и будет расширяться вправо и влево, в соответствии с набором импульсов (и скоростей) составляющих в Фурье-разложении функции на текущий момент времени.

-- 14.03.2014, 14:31 --

SergeyGubanov в сообщении #836803 писал(а):

Ну зачем же так усложнять себе жизнь? Подставьте в мою простую формулу (3) вместо $t$ характерный масштаб $L=t$.

Извините, Сергей, но я не улавливаю суть Ваших доказательств. Почему Вы рассматриваете только одну спектральную составляющую, отвечающую очень большому импульсу $p?$
Почему ваша поправка зависит от времени и при большом $t$ стремиться к бесконечности?

[Munin]

Lvov в сообщении #836822 писал(а):

Вдоль этого пространственного измерения и будет расширяться вправо и влево

Если нечто идёт вправо и влево с постоянной скоростью (света), то где расширение-то? Волнового фронта, напоминаю.

Lvov в сообщении #836822 писал(а):

Думаю мнимая масса тут ни при чем. Достаточно определить отрицательно-частотную часть полученного решения. Сейчас же имеем смесь положительных и отрицательных частот, т.е. сумму электронного и позитронного решений.

Может быть. Подожду ваших выкладок.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #836822 писал(а):

Почему Вы рассматриваете только одну спектральную составляющую, отвечающую очень большому импульсу $p?$

Потому что для каждой $p$-моды поправка разная. Импульс не обязан быть очень большим, он любой. Но он влияет на характерный масштаб светоскоростнутости. Если импульс будет маленьким, то и масштаб светоскоростнутости тоже будет маленьким.

Lvov в сообщении #836822 писал(а):

Почему ваша поправка зависит от времени и при большом $t$ стремиться к бесконечности?

Какой ещё бесконечности? Это же разложение в ряд по малому параметру. Поправка либо много меньше единицы, либо такое разложение теряет смысл. Переменную $t$ там можно заменить на $x$, разложение в ряд по $m^2$ останется в силе что так, что эдак:

$$ \psi = \cos( p t - p x) - \frac{m^2 t}{2 p} \sin( p t - p x) + O(m^4), \quad \frac{m^2 t}{2 p} \ll 1; \eqno(1) $$

$$ \psi = \cos( p t - p x) - \frac{m^2 x}{2 p} \sin( p t - p x) + O(m^4), \quad \frac{m^2 x}{2 p} \ll 1. \eqno(1') $$

[Lvov]

Munin в сообщении #836884 писал(а):

Если нечто идёт вправо и влево с постоянной скоростью (света), то где расширение-то? Волнового фронта, напоминаю.

Расширяется область определения функции. Фронты же остаются нулевой длительности.

Munin в сообщении #836884 писал(а):

Подожду ваших выкладок.

С выкладками у меня тяжело. Пока стопор.

Lvov в сообщении #836822 писал(а):

Сергей, почему Вы рассматриваете только одну спектральную составляющую, отвечающую очень большому импульсу $p?$

Я догадываюсь почему. Представляют интерес светоскоростные составляющие на внешнем конусе.
У Вас получается, что скорость падает со временем. Но вот согласно формуле из Полянина в одномерном случае сохраняется световая скорость распространения волны. Что Вы на это скажите?

[Munin]

Lvov в сообщении #836906 писал(а):

С выкладками у меня тяжело. Пока стопор.

1. Сформулировано ли, из чего исходить, и чего искать?
2. Если затыки в конкретных преобразованиях и решениях, можно пользоваться подсказками, например, справочниками типа Полянина-Зайцева, программами типа Mathematica или Wolfram Alpha.

[Lvov]

Munin в сообщении #836934 писал(а):

1. Сформулировано ли, из чего исходить, и чего искать?
2. Если затыки в конкретных преобразованиях и решениях, можно пользоваться подсказками, например, справочниками типа Полянина-Зайцева, программами типа Mathematica или Wolfram Alpha.

1. Формулировка ясна: найти фундаментальное решение одномерного уравнения Клейна-Гордона. Поиск ведется при использовании метода интегральных преобразований Фурье.
2. Проблема: понять, как учитывается размерность математического пространства. Ведь даже в случае одномерного физического пространства используется Фурье-преобразование функции двух координат - пространственной и временной.

[Munin]

Lvov в сообщении #837106 писал(а):

Формулировка ясна: найти фундаментальное решение одномерного уравнения Клейна-Гордона.

То есть, то, что уже приведено в теме?

Lvov в сообщении #837106 писал(а):

2. Проблема: понять, как учитывается размерность математического пространства. Ведь даже в случае одномерного физического пространства используется Фурье-преобразование функции двух координат - пространственной и временной.

Фурье от уравнения делается довольно просто. А вот потом вы делаете обратное преобразование от решения. Делаете по одной координате, по другой, по третьей, и так далее. Смотря, сколько у вас произошло преобразований, и результаты будут разные.

Попробуйте для тренировки взять уравнение Лапласа в 1, 2 и 3 измерениях. И найти его функцию Грина, обратным преобразованием Фурье. Подсказка: придётся использовать табличные значения преобразования Фурье, так что запаситесь справочниками или автоматическими системами типа Wolfram Alpha.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #836906 писал(а):

С выкладками у меня тяжело. Пока стопор.

Основная теорема о вычетах

[Lvov]

Ввиду стопорения темы, подведу промежуточный итог. Итак, в головном сообщении было отмечено, что при резком локальном возмущении волновой функции уравнения Клейна-Гордона (УКГ), оно распространяется на малые расстояния $r\approx r_\text{компт}$ со световой скоростью, а далее имеет вид обычный досветовой волны.

SergeyGubanov'ым было предложено исследовать в данном аспекте решение одномерного уравнения Клейна-Гордона. Munin нашел такое решение в Справочнике Полянина по линейным уравнениям математической физике.

Найденное решение оказалось весьма удивительным. Оказалось, что в одномерном случае УКГ локальное возмущение распространяется со световой скоростью на любые расстояния влево и вправо от места начального возмущения. Ввиду столь неожиданного результата было решено удостовериться в справедливости найдено решения. Но здесь возникли трудности математического и поискового плана. На первых порах автор темы пытался найти требуемое решение, непосредственно исходя из постановки задачи, но сходу проблему не удалось решить.
Вот некоторые из последних сообщений по теме:

Lvov в сообщении #836906 писал(а):

С выкладками у меня тяжело. Пока стопор.

Munin в сообщении #837115 писал(а):

Преобразование Фурье от уравнения делается довольно просто. А вот потом вы делаете обратное преобразование от решения. Делаете по одной координате, по другой, по третьей, и так далее.
Подсказка: придётся использовать табличные значения преобразования Фурье, так что запаситесь справочниками или автоматическими системами типа Wolfram Alpha.

SergeyGubanov в сообщении #837300 писал(а):

Основная теорема о вычетах

Я вижу четыре следующие варианта уточнения решения.

1. Поиск новых научных источников, в которых имеется интересующее нас решение. И здесь я возлагаю определенные надежды на эрудированного г. Munin'а. Сам я, потратив пару часов, не нашел в интернете требуемых источников.

2. Поиск требуемого решения самостоятельно с возможной помощью участников диспута. SergeyGubanov называет метод вычетов. Конечно, этот метод я использовал. С его помощью легко вычисляется интегрирование по энергетической спектральной переменной $\varepsilon.$ Остается интегрирование по импульсной переменной $p.$ Надо найти следующий определенный интеграл

$$ D_+(t,x) = k \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dp \,\frac {e^{i(\sqrt{p^2+m^2}t- px)}} {\sqrt{p^2+m^2}}.$$

Здесь $k$ - постоянная величина.
В справочнике Г. Бейтмен, А. Эрдели "Таблицы интегральных преобразований" я не нашел требуемого решения. Хорошим справочником по определенным интегралам я пока не обладаю.

3. Использование решения для трехмерного варианта УКГ (формула (3) в стартовом сообщении), которое надо проинтегрировать в бесконечных пределах по переменным $z$ и $y,$ в результате чего получится требуемое решение $ D_\pm(t,x) .$ Задача также непростая.

4. Непосредственная проверка правильности решения Полянина, путем его подстановки в одномерное УКГ с правой частью в виде дельта-функции. Этот вариант также трудоемок, ввиду необходимости вычисления производных первого и второго порядка от функций Хевисайда и Бесселя, в то время, как последние содержат в качестве аргумента новые функции.

Ввиду невозможности быстрого решения задачи я решил взять паузу для поиска решения, не без надежды получить помощь от участников диспута.

С уважением О.Львов