Действие свободной частицы

[r0ma]

Здравствуйте!
У Фейнмана задачка есть. Для свободной частицы надо написать значение действия. Проблемы с вычислением интеграла.

$$S=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\dot{x}^2dt=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2dt$$

Гляжу как баран на новые ворота. Как брать не знаю. Подтолкните, пожалуйста.

[svv]

По частям.

[r0ma]

svv в сообщении #836659 писал(а):

По частям.

Вроде уже брал. Какая-то ерунда получалась. Может брал неверно... Ещё раз посмотрю сейчас. Башка, правда, уже совсем не варит.

[svv]

Просто воспользуйтесь тем, что $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$ константа и вынесите из-под интеграла, если этим разрешено пользоваться.

[r0ma]

svv в сообщении #836664 писал(а):

и вынесите

Я правильно понял, что Вы предлагаете делать так:

$$S=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2dt=\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\cdot(t_b-t_a)$$

? Тогда я, правда, не понимаю при чём тут интегрирование по частям.

[warlock66613]

А не зная конкретного $x(t)$ (то есть не зная, что $\frac {dx} {dt} = \operatorname{const}$) наверно и не получится никак преобразовать или упростить. Тем более не получится найти конкретное значение.

[svv]

Ни при чем, это я, как всегда, невнимательно прочитал. Первое сообщение проигнорируйте.

[r0ma]

warlock66613 в сообщении #836670 писал(а):

А не зная конкретного $x(t)$ наверно и не получится никак преобразовать или упростить. Тем более не получится найти конкретное значение.

Мне вот тоже так кажется. Подумалось, может я о чём то забываю. Для чистоты приведу полную формулировку задачи, как есть у Фейнмана:

Для свободной частицы лагранжиан $L=m\dot{x}^2/2.$ Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,

$$S_{\mbox{кл.}}=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}.$$

[Ms-dos4]

Ну всё верно, $\[S = \frac{m}{2}{v^2}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{{{({t_2} - {t_1})}^2}}}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{({t_2} - {t_1})}}\]$

[r0ma]

Ms-dos4 в сообщении #836675 писал(а):

Ну всё верно, $\[S = \frac{m}{2}{v^2}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{{{({t_2} - {t_1})}^2}}}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{({t_2} - {t_1})}}\]$

Мне почему-то стало смешно. Ожидал чего-то более сложного. Спасибо.

-- Пт мар 14, 2014 00:34:17 --

Вообще, как-то не думалось мне, что $\dot{x}$ можно вот так запросто вынести. От этого и не получалось.

[Ms-dos4]

r0ma
Частица свободная, а значит по первому закону Ньютона ...
(кстати, можете сами получить его из уравнения Лагранжа)

[r0ma]

Ms-dos4 в сообщении #836679 писал(а):

r0ma
Частица свободная, а значит по первому закону Ньютона ...
(кстати, можете сами получить его из уравнения Лагранжа)

Ну да, понял. Спасибо.

[Munin]

r0ma в сообщении #836674 писал(а):

Для чистоты приведу полную формулировку задачи, как есть у Фейнмана:

Надо бы ещё сказать, в какой книге.

А то глядя на эту формулировку, я бы заподозрил, что она включает в себя "найти действие по произвольной траектории (1), минимизовать, решить получившееся уравнение движения (вот тут появится $v=\mathrm{const}$), и подставить это решение в выражение (1)". Нормальное такое упражнение на применение матаппарата. Но не такое простое, как тут подумали.

[r0ma]

Munin в сообщении #836788 писал(а):

Надо бы ещё сказать, в какой книге.

Фейнман, Хибс - КМ и интегралы по траекториям, задача 2.1.

[Munin]

Ну да, похоже, я был прав. Можно воспользоваться выводом уравнений движения

$$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0,\eqno(2.7)$$

но всё-таки решить их надо, и потом уже подставлять результат в $S[x].$ Подстановка, как всегда, самая простая часть задачи :-)

Именно в этом смысле вам придётся решать задачи 2.2, 2.3, и дальше до 2.5.