Или это просто стоит принять "как есть"?
Здесь в некоторой степени принцип "это работает, и это и есть обоснование идеи". Откуда взята амплитуда, что такое "вклад" и так далее.
В некоторой степени, "совсем на пальцах" (ещё проще, чем у Фейнмана) здесь можно воспользоваться оптической аналогией. Рассмотрим скалярную волновую оптику. В оптике тоже есть волновые явления: дифракция за щелью, интерференция на двух щелях - и мы отвлекаемся только от понятия вероятности. Мы имеем дело только с интенсивностью волны, пришедшей в конечную точку. Интенсивность, разумеется, есть квадрат амплитуды. Теперь, мы можем смотреть на картину амплитуды, распределённой в пространстве, и в том числе на плоскости экрана, разными способами:
- просто как решение волнового уравнения - то есть, в каждой точке у нас выполняется некоторый "волновой динамический закон";
- (1) эту волну мы можем считать как распространение некоторой "стандартной волны" (функции Грина) из множества точек первичного источника, в простейшем случае - из точки, из двух точек, из отрезка;
- (2) применяя принцип Гюйгенса, мы замечаем, что каждую амплитуду в конечной точке можно представить себе как сумму "вторичных волн", исходящих из "вторичных источников" на некотором промежуточном волновом фронте;
- (

) ту же идею можно повторить, введя ещё один и ещё один промежуточный волновой фронт, вычисляя волны на каждом последующем из предыдущего.
По сути, на этапе (2) мы разбили одно распространение волны на две стадии, и должны теперь учитывать интерференцию от параллельных путей (
вкладов), чтобы принцип Гюйгенса "работал". На этапе (3), мы должны посчитать такое разбиение на две стадии, только чтобы вычислить амплитуду на втором фронте, а потом ещё и эти амплитуды второго фронта все проинтерферировать. То есть, мы должны перебрать все возможные ломаные из трёх отрезков, промежуточные вершины которых лежат на промежуточных фронтах. Переходя к

мы делаем всё то же самое. И наконец, мы можем взять предел

заполняя вообще всё доступное пространство промежуточными волновыми фронтами, и тогда наши ломаные превратятся в почти произвольные кривые линии, и для каждой из этих линий мы должны посчитать "вклад" - число, которое целиком и полностью определяется формой этой линии, и сумма всех-всех-всех этих чисел даст амплитуду в конечной точке.
-- 15.03.2014 13:17:41 --Параллель между оптикой и механикой такая: в оптике мы во всём пространстве имеем амплитуду волны, меняющуюся по синусоиде, и образующую волновые фронты. Эта амплитуда задаётся решением волнового уравнения

которое в пределе малой длины волны

переходит в уравнение эйконала (фаза и амплитуда расщепляются друг от друга, и большая быстро меняющаяся фаза, после деления на большой нормировочный множитель, становится эйконалом):

Аналогично, в механике мы имеем на уровне "предела малой длины волны" (уровень классической механики) уравнение Гамильтона-Якоби

которое тоже возникает (в квазиклассическом приближении) из расщепления фазы и амплитуды в полноценном волновом уравнении Шрёдингера

Таким образом, видно, что параллель такая:
- волна

в волновой оптике (по сути, электромагнитная) ~~ волна

в квантовой механике (волновой функции). Эту волну, вместе с учётом её фазы, удобно называть "амплитудой".
- интенсивность этой волны

~~ плотность вероятности в квантовой механике

;
- фаза оптической волны, в пределе эйконал ~~ фаза квантовомеханической волны, в пределе действие как функция координат (в смысле уравнения Гамильтона-Якоби);
- если мы задаём конкретный путь, то эта фаза становится оптической длиной пути ~~ в механике мы получаем действие как функционал пути (в смысле формализма Лагранжа);
- рассматривая узкий луч, мы пренебрегаем интенсивностями за пределами этого луча, и дифракция не размывает существенно этого луча, он распространяется вперёд, перпендикулярно поверхностям равной фазы ~~ квантовая частица может двигаться почти по классической траектории (в пространстве-времени), и мы пренебрегаем волновой функцией за пределами этой траектории, и квантовая механика не размывает её существенно, частица движется "перпендикулярно" поверхностям постоянного действия - в том смысле, что её вектор

направлен перпендикулярно этим поверхностям, по градиенту действия в пространстве-времени;
- если мы возьмём пространственные сечения такого пространственно-временного луча, то получим движение волнового пакета: импульса света в оптике ~~ почти классической частицы в механике.
- в оптике волны могут двигаться в переменном показателе преломления ~~ в механике частицы могут двигаться в переменном потенциале. Все явления аналогичны: есть отталкивание от плавно меняющегося потенциала, есть отражение и преломление, есть туннельный эффект.
Может, ещё что-то забыл.