2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Действие свободной частицы
Сообщение13.03.2014, 23:53 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Здравствуйте!
У Фейнмана задачка есть. Для свободной частицы надо написать значение действия. Проблемы с вычислением интеграла.
$$S=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\dot{x}^2dt=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2dt$$
Гляжу как баран на новые ворота. Как брать не знаю. Подтолкните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение13.03.2014, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
По частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:03 
Аватара пользователя


10/03/11
210
svv в сообщении #836659 писал(а):
По частям.

Вроде уже брал. Какая-то ерунда получалась. Может брал неверно... Ещё раз посмотрю сейчас. Башка, правда, уже совсем не варит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Просто воспользуйтесь тем, что $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$ константа и вынесите из-под интеграла, если этим разрешено пользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:15 
Аватара пользователя


10/03/11
210
svv в сообщении #836664 писал(а):
и вынесите
Я правильно понял, что Вы предлагаете делать так:
$$S=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2dt=\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\cdot(t_b-t_a)$$? Тогда я, правда, не понимаю при чём тут интегрирование по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:17 
Заслуженный участник


02/08/11
7014
А не зная конкретного $x(t)$ (то есть не зная, что $\frac {dx} {dt} = \operatorname{const}$) наверно и не получится никак преобразовать или упростить. Тем более не получится найти конкретное значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ни при чем, это я, как всегда, невнимательно прочитал. Первое сообщение проигнорируйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:27 
Аватара пользователя


10/03/11
210
warlock66613 в сообщении #836670 писал(а):
А не зная конкретного $x(t)$ наверно и не получится никак преобразовать или упростить. Тем более не получится найти конкретное значение.
Мне вот тоже так кажется. Подумалось, может я о чём то забываю. Для чистоты приведу полную формулировку задачи, как есть у Фейнмана:

Для свободной частицы лагранжиан $L=m\dot{x}^2/2.$ Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,
$$S_{\mbox{кл.}}=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:28 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Ну всё верно, $\[S = \frac{m}{2}{v^2}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{{{({t_2} - {t_1})}^2}}}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{({t_2} - {t_1})}}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:32 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Ms-dos4 в сообщении #836675 писал(а):
Ну всё верно, $\[S = \frac{m}{2}{v^2}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{{{({t_2} - {t_1})}^2}}}({t_2} - {t_1}) = \frac{m}{2}\frac{{{{({x_2} - {x_1})}^2}}}{{({t_2} - {t_1})}}\]$
Мне почему-то стало смешно. Ожидал чего-то более сложного. Спасибо.

-- Пт мар 14, 2014 00:34:17 --

Вообще, как-то не думалось мне, что $\dot{x}$ можно вот так запросто вынести. От этого и не получалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:34 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
r0ma
Частица свободная, а значит по первому закону Ньютона ...
(кстати, можете сами получить его из уравнения Лагранжа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 00:45 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Ms-dos4 в сообщении #836679 писал(а):
r0ma
Частица свободная, а значит по первому закону Ньютона ...
(кстати, можете сами получить его из уравнения Лагранжа)
Ну да, понял. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
r0ma в сообщении #836674 писал(а):
Для чистоты приведу полную формулировку задачи, как есть у Фейнмана:

Надо бы ещё сказать, в какой книге.

А то глядя на эту формулировку, я бы заподозрил, что она включает в себя "найти действие по произвольной траектории (1), минимизовать, решить получившееся уравнение движения (вот тут появится $v=\mathrm{const}$), и подставить это решение в выражение (1)". Нормальное такое упражнение на применение матаппарата. Но не такое простое, как тут подумали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 12:21 
Аватара пользователя


10/03/11
210
Munin в сообщении #836788 писал(а):
Надо бы ещё сказать, в какой книге.
Фейнман, Хибс - КМ и интегралы по траекториям, задача 2.1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие свободной частицы
Сообщение14.03.2014, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну да, похоже, я был прав. Можно воспользоваться выводом уравнений движения
$$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0,\eqno(2.7)$$ но всё-таки решить их надо, и потом уже подставлять результат в $S[x].$ Подстановка, как всегда, самая простая часть задачи :-)

Именно в этом смысле вам придётся решать задачи 2.2, 2.3, и дальше до 2.5.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group