2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 14:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
$D$ - евклидово кольцо $\Leftrightarrow$ в $D$ определена псевдонорма $\|\cdot\|$. Псевдонорма - это функция $\|\cdot\| : D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$, удовлетворяющая соотношениям:
1) $\|\alpha\|\leqslant\|\alpha\beta\|$
2) для любых $\alpha,\beta\neq 0$ существуют $\gamma,\rho$ такие, что $\alpha=\beta\gamma+\rho$, причем $\rho=0$, либо $\|\rho\|<\|\beta\|$.
Я не могу подобрать псевдонорму для $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Обычная норма $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$ не годится, т.к. она м.б. отрицательной. Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу. Функция типа $a+b\sqrt{2}\to |a|+|b|$ тоже не годится из-за того, что единиц бесконечно много
Еще нашел: можно считать, что $\|1\|=1$. Псевдонорма всех ассоциированных элементов одна и та же, в частности, псевдонорма единиц равна $1$. Во 2-м условии если брать в качестве $\alpha,\beta$ единицы, то соотношение легко удовлетворяется.
Псевдонорму неудобно подбирать из-за того, что так много единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Sonic86 в сообщении #834949 писал(а):
Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу.
А в чем проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 15:18 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Sonic86 в сообщении #834949 писал(а):
Обычная норма $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$ не годится, т.к. она м.б. отрицательной. Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу.
можете тут прочитать

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 17:01 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
patzer2097 в сообщении #834996 писал(а):
можете тут прочитать
Спасибо, туплю, схема доказательства та же, оказывается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group