Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?

[Sonic86]

$D$ - евклидово кольцо $\Leftrightarrow$ в $D$ определена псевдонорма $\|\cdot\|$. Псевдонорма - это функция $\|\cdot\| : D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$, удовлетворяющая соотношениям:
1) $\|\alpha\|\leqslant\|\alpha\beta\|$
2) для любых $\alpha,\beta\neq 0$ существуют $\gamma,\rho$ такие, что $\alpha=\beta\gamma+\rho$, причем $\rho=0$, либо $\|\rho\|<\|\beta\|$.
Я не могу подобрать псевдонорму для $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Обычная норма $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$ не годится, т.к. она м.б. отрицательной. Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу. Функция типа $a+b\sqrt{2}\to |a|+|b|$ тоже не годится из-за того, что единиц бесконечно много
Еще нашел: можно считать, что $\|1\|=1$. Псевдонорма всех ассоциированных элементов одна и та же, в частности, псевдонорма единиц равна $1$. Во 2-м условии если брать в качестве $\alpha,\beta$ единицы, то соотношение легко удовлетворяется.
Псевдонорму неудобно подбирать из-за того, что так много единиц.

[Xaositect]

Sonic86 в сообщении #834949 писал(а):

Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу.

А в чем проблема?

[patzer2097]

Sonic86 в сообщении #834949 писал(а):

Обычная норма $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$ не годится, т.к. она м.б. отрицательной. Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу.

можете тут прочитать

[Sonic86]

patzer2097 в сообщении #834996 писал(а):

можете тут прочитать

Спасибо, туплю, схема доказательства та же, оказывается.