2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 14:08 
$D$ - евклидово кольцо $\Leftrightarrow$ в $D$ определена псевдонорма $\|\cdot\|$. Псевдонорма - это функция $\|\cdot\| : D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$, удовлетворяющая соотношениям:
1) $\|\alpha\|\leqslant\|\alpha\beta\|$
2) для любых $\alpha,\beta\neq 0$ существуют $\gamma,\rho$ такие, что $\alpha=\beta\gamma+\rho$, причем $\rho=0$, либо $\|\rho\|<\|\beta\|$.
Я не могу подобрать псевдонорму для $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Обычная норма $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$ не годится, т.к. она м.б. отрицательной. Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу. Функция типа $a+b\sqrt{2}\to |a|+|b|$ тоже не годится из-за того, что единиц бесконечно много
Еще нашел: можно считать, что $\|1\|=1$. Псевдонорма всех ассоциированных элементов одна и та же, в частности, псевдонорма единиц равна $1$. Во 2-м условии если брать в качестве $\alpha,\beta$ единицы, то соотношение легко удовлетворяется.
Псевдонорму неудобно подбирать из-за того, что так много единиц.

 
 
 
 Re: Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 14:49 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #834949 писал(а):
Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу.
А в чем проблема?

 
 
 
 Re: Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 15:18 
Sonic86 в сообщении #834949 писал(а):
Обычная норма $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$ не годится, т.к. она м.б. отрицательной. Является ли модуль нормы псевдонормой - проверить не могу.
можете тут прочитать

 
 
 
 Re: Почему Z[\sqrt{2}] евклидово?
Сообщение10.03.2014, 17:01 
patzer2097 в сообщении #834996 писал(а):
можете тут прочитать
Спасибо, туплю, схема доказательства та же, оказывается.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group