Комбинаторика: раскладываем фрукты по пакетам

[Twidobik]

Задание: 7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются в три пакета по 5 фруктов в каждом. Сколькими способами это можно сделать?

Мне кажется, что верный ответ вычисляется таким образом
$C_{15}^7 \cdot C_8^3 = \frac{{15!}}{{3! \cdot 5! \cdot 7!}}$,
а ответ в учебнике такой
$\frac{{15!}}{{{2^9} \cdot {3^3} \cdot {5^3}}}$
и ясно, он отличен от моего.

В чем моя ошибка?

[--mS--]

Что за семь из пятнадцати Вы выбираете и зачем?

[Twidobik]

Этим я хочу найти количество способов, которыми можно разместить 7 яблок по трем пакетам. Затем 3 апельсина по оставшимся местам... Такой способ показался мне вполне логичным, поэтому я в упор и не вижу своей ошибки

[provincialka]

Хм... 7 яблок по 3 пакетам... И где же здесь 15? И потом еще придется перебирать разные случаи: сколько мест осталось в пакетах.
Конечно, можно пронумеровать места в пакетах и пометить 7 из них. Но ведь порядок размещения фруктов внутри мешков не важен. И как вы будете это учитывать?

Кстати, у вас пакеты различаются?

[whitefox]

Twidobik в сообщении #833513 писал(а):

Этим я хочу найти количество способов, которыми можно разместить 7 яблок по трем пакетам.

Пакеты обезличены, поэтому, например, существует всего один способ положить в один пакет пять яблок и по одному яблоку в другие пакеты.

А при Вашем способе подсчёта эта комбинация будет учтена трижды как:
$(5, 1, 1), (1, 5, 1), (1, 1, 5).$

[Twidobik]

provincialka, whitefox спасибо за замечания, действительно, почему-то совершенно упустил тот факт, что пакеты одинаковые.
Так-с, тогда что же делать. Дайте, пожалуйста, подсказочку

[Shtorm]

Twidobik, можно вот как рассуждать, методом аналогий: представим эти три пакета как один большой пакет с тремя отделениями. То есть пакет внутри разделён двумя перегородками. Соответственно имеется 15 объектов - 15 фруктов, которые нужно положить в этот большой пакет с перегородками. В одну секцию пакета влезет всего 5 фруктов. Вот теперь представьте, что у Вас в рядок лежат все 15 фруктов (на перегородки пока не смотрим). Сколькими способами можно их разместить?

[ewert]

Twidobik в сообщении #833457 писал(а):

Мне кажется, что верный ответ вычисляется таким образом
$C_{15}^7 \cdot C_8^3 = \frac{{15!}}{{3! \cdot 5! \cdot 7!}}$,

Это было бы верно, если бы а) пакеты были пронумерованы (ну это допустим) и б) расположение фруктов в пакете было существенно (а вот это уже противоречит термину "пакет").

Twidobik в сообщении #833457 писал(а):

а ответ в учебнике такой
$\frac{{15!}}{{{2^9} \cdot {3^3} \cdot {5^3}}}$

Это уже вовсе какое-то безумие: мало того, что опять же безумно много, так ещё и совершенно непонятно, с какой стати.

Это вообще задача не комбинаторная, а переборная. Если пакеты различаются, то будет 165 вариантов, а если неразличимы -- то 29.

[Shtorm]

ewert, я прорешал задачу до конца вышеописанным мной способом и ответ совпал с приведённым из учебника. А комбинаций на самом деле много. Если в первом пакете находятся 1, 2, 3 яблоки и сочетаются с другими апельсинами и лимонами - то это одно множество комбинаций, если же в первом пакете находятся 4, 5, 6 яблоки и сочетаются с другими апельсинами и лимонами то это другое множество комбинаций. И так далее. Общее число комбинаций 756756, как привёл из учебника ТС, это в полне реальное число.

[ewert]

Shtorm в сообщении #833756 писал(а):

1, 2, 3 яблоки

Яблоки не пронумерованы, иначе не было бы смысла в апельсинах и лимонах.

[mihailm]

Shtorm, так это вы задали этому несчастному студенту задачу?

[Shtorm]

ewert, ага! Ну тогда вопрос к составителям задачи, как они мыслили. Точней уже понятно, как они мыслили. Если бы в задаче было сказано, сколькими способами можно разложить 15 фруктов в три пакета, при условии, что в каждый пакет класть только 5 фруктов - то ответ был бы таким же как и в приведённом ТС. То есть авторы задачи мыслили, что одно дело - эти апельсины лежат в первом пакете, а другое дело - вон те апельсины лежат в первом пакете.
mihailm, нет конечно Для моих студентов - это было бы вообще нерешаемой задачей (ну может только для избранных).

[whitefox]

ewert в сообщении #833732 писал(а):

а если неразличимы -- то 29.

Shtorm в сообщении #833756 писал(а):

Общее число комбинаций 756756, как привёл из учебника ТС, это в полне реальное число.

Моё "реальное" число – 24.
Возможно что-то и пропустил.
Приведу все свои варианты, перепроверьте, пожалуйста.

500 500 500 500 500 500 410 410
230 221 212 203 131 122 320 311
005 014 023 032 104 113 005 014

401 401 401 410 410 401 401 401
320 311 302 221 212 230 221 212
014 023 032 104 113 104 113 122

401 320 320 311 320 311 311 302
203 311 302 311 212 221 212 221
131 104 113 113 203 203 212 212

[--mS--]

ewert в сообщении #833757 писал(а):

Яблоки не пронумерованы, иначе не было бы смысла в апельсинах и лимонах.

И яблоки пронумерованы, и пакеты тоже.

[Shtorm]

whitefox, расшифруйте обозначения

500 и 005

Ведь и там и там - по 5 фруктов, правильно? А в чём разница? И сразу скажите, почему у Вас нигде во 2-ом пакете нет

050

Или я что-то не понял?