Множество действительных чисел

[dmbaturin]

Множество действительных чисел определяется системой аксиом? Определяет ли эта система аксиом единственное множество, или можно построить и другие? Будут ли они изоморфны множеству действительных чисел?

[Brukvalub]

dmbaturin писал(а):

Определяет ли эта система аксиом единственное множество, или можно построить и другие? Будут ли они изоморфны множеству действительных чисел?

А что тут дискутировать? Давным-давно доказано (и некоторые продвинутые лекторы доказывают это первокурсникам на мех-матовских лекциях по математическому анализу), что все возможные модели действительных чисел, удовлетворяющие полному набору аксиом, изоморфны друг другу, то есть, неотличимы по набору свойств.

[epros]

dmbaturin писал(а):

Множество действительных чисел определяется системой аксиом? Определяет ли эта система аксиом единственное множество, или можно построить и другие? Будут ли они изоморфны множеству действительных чисел?

Спросите лучше сначала то же самое про множество натуральных чисел.

Я недавно всерьёз озаботился вопросом, определимо ли в теоретико-множественной аксиоматике (например, Цемерло-Френкеля) понятие множества всех натуральных чисел. Имеется в виду, что определение должно быть корректным (без тавтологий), определять строго единственный объект, и в это множество должны входить все те и только те элементы, которые удовлетворяют аксиоматике Пеано (т.е. являются натуральными числами).

Оказалось - да, определимо: как пересечение всех индуктивных множеств (т.е. множеств, удовлетворяющих теоретико-множественной аксиоме бесконечности). При доказательстве существенным образом используется (помимо аксиомы бесконечности) аксиома фундирования и схема аксиом выделения.

А множество всех действительных чисел определяется просто как множество всех подмножеств множества всех натуральных чисел (т.е. используется аксиома множества подмножеств). Его единственность доказывается с помощью аксиомы объёмности.

[Iosif1]

Brukvalub писал(а):

что все возможные модели действительных чисел, удовлетворяющие полному набору аксиом, изоморфны друг другу, то есть, неотличимы по набору свойств.

Означает ли это, что не может существовать отличительных признаков, или расчетных алгоритмов, позволяющих определять принадлежит или нет данное число, или набор чисел к конкретному множеству?

[Brukvalub]

Iosif1 писал(а):

Означает ли это, что не может существовать отличительных признаков, или расчетных алгоритмов, позволяющих определять принадлежит или нет данное число, или набор чисел к конкретному множеству?

Какому множеству? Если речь идет о множестве действительных чисел, то такое множество только одно, но есть различные его модели, использующие, фигурально выражаясь, разные "носители" для обозначения этих чисел.

[Iosif1]

Brukvalub писал(а):

Какому множеству?

Я имел ввиду, например, множество простых чисел и множество составных чисел. Или это не из этой оперы? Если так, и по этому вопросу есть что-нибудь общеобразовательное, то при возможности дайте ссылку, на всякий случай. Заранее благодарен.

[Brukvalub]

Iosif1 писал(а):

Я имел ввиду, например, множество простых чисел и множество составных чисел. Или это не из этой оперы?

Пожалуй, это различается сильнее, чем даже опера и балет

Iosif1 писал(а):

Если так, и по этому вопросу есть что-нибудь общеобразовательное, то при возможности дайте ссылку, на всякий случай. Заранее благодарен.

Посмотрите определение действительных чисел в начальных главах современных учебников по математическому анализу:
Зорич В.А. — Математический анализ (Часть 1) Кудрявцев Л.Д. — Курс математического анализа (т. 1) и т.п. и вот эту книгу: Ландау Э. — Основы анализа

[naiv1]

Можно ли сказать, что действительные числа - это рациональные числа + иррациональные числа или это нечто другое?

[Echo-Off]

naiv1 писал(а):

Можно ли сказать, что действительные числа - это рациональные числа + иррациональные числа или это нечто другое?

Конечно, можно!
Обычно, правда, таким образом определяют иррациональные числа.

[Brukvalub]

naiv1 писал(а):

Можно ли сказать, что действительные числа - это рациональные числа + иррациональные числа или это нечто другое?

А что такое иррациональные числа?

[naiv1]

to Brukvalub.
Учебники учат, что вещественные числа получаются путем присоединения к рациональным числам чисел, не являющихся рациональными - иррациональных (известные рассуждения по поводу несоизмеримости гипотенузы и стороны квадрата)

[luitzen]

epros писал(а):

dmbaturin писал(а):

Множество действительных чисел определяется системой аксиом? Определяет ли эта система аксиом единственное множество, или можно построить и другие? Будут ли они изоморфны множеству действительных чисел?

Спросите лучше сначала то же самое про множество натуральных чисел.

О, а я что-то слышал о теореме Левенгейма-Сколема, согласно которой у любой теории, имеющей модель, имеется и счетная модель. Это по поводу действительных чисел.
По поводу натуральных чисел: вроде как формальная арифметика некатегорична, что, собственно, и означает существование неизоморфных моделей.

P.S. Нашел небольшую статью с разъяснениями на эту тему. Пойду поброжу по ссылкам оттуда

[Brukvalub]

naiv1 писал(а):

Учебники учат, что вещественные числа получаются путем присоединения к рациональным числам чисел, не являющихся рациональными - иррациональных (известные рассуждения по поводу несоизмеримости гипотенузы и стороны квадрата)

А что такое числа?Вот я в одной умной книжке прочел про число i , квадрат этого числа равен -1. Это рациональное, или иррациональное число? Вроде бы отношением целого и натурального чисел его не запишешь Но это явно число! Значит - иррациональное?

luitzen писал(а):

О, а я что-то слышал о теореме Левенгейма-Сколема, согласно которой у любой теории, имеющей модель, имеется и счетная модель. Это по поводу действительных чисел.

Наверное, речь идёт о разных смыслах употребления слова "модель", поскольку я краем уха слыхал, что даже продвинутые первокурсники умеют доказывать несчётность множества объектов в любой модели действительных чисел.

luitzen писал(а):

По поводу натуральных чисел: вроде как формальная арифметика некатегорична, что, собственно, и означает существование неизоморфных моделей.

Не могли бы Вы тогда явно указать две неизоморфные модели натуральных чисел (меня оторопь берет от самой такой возможности)

[epros]

Brukvalub писал(а):

luitzen писал(а):

О, а я что-то слышал о теореме Левенгейма-Сколема, согласно которой у любой теории, имеющей модель, имеется и счетная модель. Это по поводу действительных чисел.

Наверное, речь идёт о разных смыслах употребления слова "модель", поскольку я краем уха слыхал, что даже продвинутые первокурсники умеют доказывать несчётность множества объектов в любой модели действительных чисел.

Да нет, в теоретико-множественных понятиях термин "модель теории" вроде бы определён вполне однозначно: это множество, содержащее все определения и утверждения теории. Действительно, теорема Лёвенхейма-Сколема о том, что если у теории есть модель, то у неё есть и счётная модель. Это следует из особенностей языка логики первого порядка. Отсюда известный парадокс Сколема: количество определений в теории счётно, т.е. теория может определить только счётное количество действительных чисел, но при этом в самой теории доказывается, что множество действительных чисел несчётно. Самое забавное, что на формальном языке в виде противоречивого утверждения это изложить не удаётся. Отсюда делается вывод, что парадокс Сколема - никакой, собственно, не парадокс.

Brukvalub писал(а):

luitzen писал(а):

По поводу натуральных чисел: вроде как формальная арифметика некатегорична, что, собственно, и означает существование неизоморфных моделей.

Не могли бы Вы тогда явно указать две неизоморфные модели натуральных чисел (меня оторопь берет от самой такой возможности)

Да, мне тоже интересно. Формальная арифметика, конечно, сама по себе ещё недостаточна для того, чтобы определить понятие "множества всех науральных чисел". Тут нужна теория множеств. Например, в конструктивном анализе тоже определены натуральные числа, но никакого "множества всех натуральных чисел" в нём нет. Но в теоретико-множественной аксиоматике (Цемерло-Френкеля) существование и единственность множества $\mathbb{N}$ доказуемо, хотя это и не такой тривиальный результат, как может показаться на первый взгляд.

P.S. luitzen, я слегка почитал указанную Вами статью, по крайней мере в части, посвящённой изоморфности моделей арифметики. В этом вопросе она ссылается на работу Фефермана. Схема доказательства мне показалась излишне витиеватой. Автор пытается построить изоморфизм между двумя моделями, при этом существование изоморфизма доказывается с использованием теоретико-множественной аксиоматики. Но ведь если у нас есть теоретико-множественная аксиоматика, то существование и единственность $\mathbb{N}$ можно доказать напрямую!

Для этого множество всех натуральных чисел определяется следующим образом:
$\mathbb{N} := \{n | \forall a (\emptyset \in a \wedge \forall b (b \in a \to b \cup \{ b \} \in a) \to n \in a) \}$
Т.е. множество таких объектов $n$, которые принадлежат каждому из индуктивных множеств $a$ (предикат $\emptyset \in a \wedge \forall b (b \in a \to b \cup \{ b \} \in a)$ читается как: "$a$ является индуктивным множеством"). Как видите, в этом определении нет тавтологий - т.е. в правой части формулы используются только ранее введённые понятия теории множеств. Далее остаётся доказать, что:
1. $\mathbb{N}$ существует и единственно.
2. $\mathbb{N}$ состоит из всех тех и только тех элементов $n$, которые удовлетворяют всем аксиомам Пеано (при этом в качестве операции инкремента от $n$ понимается $n \cup \{ n \}$, а в качестве единицы - пустое множество $\emptyset$).

Это можно сделать с использованием аксиоматики ZF. Так что ZF содержит в себе формальную арифметику.

Обратите внимание, что автор указанной Вами статьи упоминает, что доказательство Фефермана основывается на "минимальности" $\mathbb{N}$ по отношению к другим индуктивным множествам. Очевидно, что эта "минимальность" заложена уже в само приведённое выше определение $\mathbb{N}$ (ибо согласно этому определению оно есть пересечение всех индуктивных множеств).

[Macavity]

Ситуация сильно меняется если в теории используются не только счетные множества, но и несчетные. Доказательства по индукции применимы только к счетным множествам, а если требуется работать с "большими" размерностями, то надо использовать что-то вроде леммы Цорна о максимальном элементе.
В частности, в книге Прасолова об эллиптических функциях это делается в разделе о теории Галуа, когда рассматривается вопрос продолжения автоморфизма подполя в $\mathbb{C}$ до автоморфизма всего поля $\mathbb{C}$.

Прасолов писал(а):

Теперь уже ясно, что мощность автомофизмов поля $\mathbb{C}$ не меньше мощности континуума. Но оказывается, что мощность этого множества больше мощности континуума

Даже расуждая в терминах действительных чисел никто не мешает строить более мощные конструкции на базе этого множества, что-то вроде множества всех подмножеств действительных чисел, а затем рассматривать отображения, авто-, изо- и другие морфизмы. Вопрос не в том с какого конкретного множества - натуральных, целых, действительных начинается теория..., а мощностях множеств, с которыми проводятся операции...