luitzen писал(а):
«Содержательностью» они называют, по-моему, привлечение второпорядковых средств. С коими, вообще-то, не все обстоит хорошо.
Ещё как нехорошо...
Вобще-то, "привлечение логики второго порядка" в каком-то смысле эквивалентно переходу на уровень мета-мета-теории в логике первого порядка. Дело в том, что предикаты теории (которые в логике первого порядка нельзя квантифицировать) с точки зрения языка мета-теории являются всего лишь строковыми константами, удовлетворяющими определённым синтаксическим ограничениям. Таким образом, совокупность предикатов теории с точки зрения мета-теории является строковой переменной, принимающей значения из заданного множества возможных. А переменные можно квантифицировать, т.е. в мета-теоретических высказываниях можно квантифицировать предикаты теории.
Brukvalub писал(а):
Иначе всё это попахивает внутренней противоречивостью основ анализа, если не всей математической части естествознания, и серьёзным кризисом этих основ.
Рекомендую всем заинтересованным поближе познакомиться с основами конструктивного анализа.
Там нет таких проблем, но нет там и значительного куска классического анализа. Интерсен ответ, который даёт А.А.Марков на вопрос воображаемого "классического математика" относительно того, что нужно сделать, чтобы "спасти ценные достижения" классического анализа: суть его ответа сводится к тому, что ценность того, что нам приходится искусственным образом "спасать", весьма сомнительна. (Примечания к книжке Гейтинга "Интуиционизм").
venja писал(а):
То есть ввести иррациональные числа как классы эквивалентных между собой несходящихся (в пространстве рациональных чисел) последовательностей, удовлетворяющих условию Коши (имею ввиду последовательности, "сходящиеся в себе").
Любопытно, что именно таким образом определяются конструктивные действительные числа (как классы эквивалентности сходящихся последовательностей рациональных чисел).
