Одно док-во Olega Zubelevicha

[Keter]

Oleg Zubelevich в сообщении #612536 писал(а):

таки напишу доказательство.


Предположим, что функция $g\in L^p_{loc}(\mathbb{R}_+),\quad p\in(1,\infty],\quad f\in L^{p'}[0,1]$.
Предположим, что существует константа $c$ такая, что функция $\int_0^x(g(s)-c)ds$ -- ограничена на $\mathbb{R}_+$, и

$$\frac{\|g\|_{L^p[0,n]}}{n}<\infty,\quad n\in\mathbb{N}$$

.

Теорема. При $n\to\infty$ имеем

$$\int_0^1f(x)g(nx)dx\to c\int_0^1 f(x)dx.$$

Доказательство. Рассмотрим последовательность линейных функций

$$\psi_n:L^{p'}[0,1]\to\mathbb{R},\quad \psi_n(f)=\int_0^1f(x)g(nx)dx.$$

Уже доказано (post612347.html#p612347) что данная последовательность сходится к чему надо на пространстве $C^1[0,1]$, которое плотно в $L^{p'}[0,1]$. По теореме Банаха-Штейнгауза она сходится на $L^{p'}[0,1]$.

Можно ли это док-во обобщить для $\int\limits_a^b f(x)g(nx)\, dx,$ то есть не от $0$ до $1$, а от $a$ до $b$?
Как это правильно сделать?

Как я понял, Oleg Zubelevich доказал, что периодичность $g$ не нужна, можно только условие: существует константа $c$ такая, что $\int_0^x(g(s)-c)ds.$

[Алексей К.]

Keter в сообщении #831155 писал(а):

Как я понял, Oleg Zubelevich доказал, что периодичность $g$ не нужна, можно только условие: существует константа $c$ такая, что $\int_0^x(g(s)-c)ds.$

Я в этой вашей математике не особо шарю, больше по русскому языку специализируюсь. Типа за крючочком $\int\ldots$ вижу подлежащее, символы типа $=,>$ перевожу в сказуемые, итп.

Так вот, процитированное я воспринимаю примерно так:
"существует константа $c$ такая, что интеграл." (тчк)
А хочется чего-то вроде
"существует константа $c$ такая, что интеграл равен нулю" (или "интеграл прекрасен", или "интеграл не решается берётся", етц.)

Ну сравните:
"Бывает погода, когда Вася." (типа чушь)
"Бывает погода, когда Вася любит Машу." (типа сойдёт)

Не исключаю, что я устарел и чего-то не понимаю. В современном русском языке.

[Евгений Машеров]

Сказуемое там $\in$

[gris]

Keter в сообщении #831155 писал(а):

Как я понял, Oleg Zubelevich доказал, что периодичность $g$ не нужна, можно только условие: существует константа $c$ такая, что $\int_0^x(g(s)-c)ds.$

Евгений Машеров в сообщении #831259 писал(а):

Сказуемое там $\in$

То есть надо добавить слово "принадлежит"!
"...существует константа такая, что интеграл принадлежит."
Может быть, ещё какие члены предложения добавить?

[svv]

Не надо. «Интеграл принадлежит» — фраза доставляет.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Интеграл принадлежит - никуда не убежит!
Кто возьмёт его без спроса - тот останется без носа!

[Утундрий]

(Оффтоп)

Все мы слегка инцидентны чему-то...
Как-то кому-то да принадлежим,
В смысле каком-то. Последней минуты
Жизни в итоге все не избежим.

Непринадлежность - высокое право!
Но обладает ли им интеграл? Суммы
Суммировать - это искусство, но право,
Вправду ль владеет им наш интеграл?

Остановлюсь в полушаге, замру, смежу веки...
Дыханье на миг успокою и вышвырну мысли.
И, чуть спустя, осознаю - зачем же нужны человеки!
Интегралов пространство измыслив...

[Keter]

Доказать, что периодичность $g$ не нужна, можно только условие: существует константа $c$ такая, что функция $\lambda(x)=\int_0^x(g(s)-c)ds$ ограничена. Oleg Zubelevich доказал это для примера с пределами интегрирования от 0 до 1. Меня заинтересовало, как такое обобщить на произвольный отрезок $[a, b].$

[Keter]

(Оффтоп)

Удачи, тревоги, тоска и покой.
Забвения каждого тревожит пространство -
Ненужные мысли превращают всё в бранство:
И жизнь без эмоций и кто ты такой?
Вопросов всё больше и множество плотно,
Иссякли все термины в жизни табу.
Куда нам податься, живя наяву?
И только лишь зная, что, отнюдь, беззаботно,
Без правил ты падаешь так монотонно,
Что остается надежда одна -
Поставь пред собою ту чашу вина,
Где кажется плотность и не нужна...
Но это ведь жизнь и нет идеала:
Объектов с разрывом не так уж и мало
И на эмоциях всех нас ломало.
Но нарушая табу в этом гневе,
Взошел на престол в безмятежной идеи,
Разрушив все грани пространств бытия,
Жаждал свободы и шел как мессия.
Зная о жизни он только играл,
Проклятие бездумья влача... интеграл

-- 28 фев 2014, 21:04 --

Алексей К., спасибо за замечание, когда набирал в тексе, видно удалилось случайно. Теперь должно быть понятнее, что я имел в виду. То есть я хотел акцентировать внимание на том факте, что доказал Oleg Zubelevich и попробовать его обобщить. Может быть у Вас есть идеи. Просто задача в общем виде решается достаточно просто, но метод Oleg Zubelevich немного экзотичнее что-ли и из-за этого красивее. Такой нестандартный красивый способ доказать, что для задачи $\lim_{n \to \infty} \int\limits_a^b f(x)g(nx)\, dx$ периодичность $g$ не нужна и решить саму задачу.

[provincialka]

(Оффтоп)

Декабристы разбудили Герцена, а доказательство Олега Зубелевича - поэтическую жилку в наших участниках

[Алексей К.]

Keter в сообщении #831543 писал(а):

Может быть у Вас есть идеи.

Лично у меня нет.

(Оффтоп)

Я в этом ничего не понимаю, кроме того, о чём уже высказался. Но и я, и все остальные, искусственно поднимаeм тему в надежде, что явится, наконец, сам Oleg Zubelevich, заметит её, и поможет Вам разобраться.

А ещё всё это мне напомнило известную ситуацию с Пушкиным и Державиным на экзамене по словесности в лицее. Кажется, ещё года 2 назад Вы, Keter, путались в школьных задачках по тригонометрии, а теперь рисуете крючочки типа $L^{p'}$ (мне, например, совершенно неведомые) и апеллируете к самому Olegу Zubelevichу. Ну да, Вы все эти годы, похоже, математикой занимались, а я другими штуками.

То есть, если сравнивать с лицейской историей, Вы здесь в роли Пушкина, а я в роли Державина. Который тогда уписялся от выступления Пушкина на экзамене. Не помню, кто из них убежал с того экзамена, и кто плакал.
Если чо.

[vlad_light]

Тему я не читал, но разве тут не то, что Вам нужно? Или здесь существенно $L$?

[Keter]

vlad_light, существенно док-во того, что периодичность $g$ не нужна, достаточно лишь ограниченности $\int\limits_0^x (g(s)-c)\, ds.$ И существенно то, как обобщить док-во Olega Zubelevicha для отрезка $[a, b].$

Алексей К. в сообщении #831582 писал(а):

апеллируете к самому Olegу Zubelevichу

Скорее к тем, кто может помочь.

[Keter]

Алексей К. в сообщении #831582 писал(а):

рисуете крючочки типа $L^{p'}$ (мне, например, совершенно неведомые)

Я так понимаю, что $L^{p'}$ это сопряженное к $L_{loc}^p$.

[Oleg Zubelevich]

Ладно ,еще раз и аккуратно.


Предположим, что функция $g\in L^p_{loc}(\mathbb{R}_+),\quad p\in(1,\infty],\quad f\in L^{p'}[0,1],\quad 1/p+1/p'=1$.
Предположим, что существует константа $c$ такая, что функция $\int_0^x(g(s)-c)ds$ -- ограничена на $\mathbb{R}_+$, и

$$\sup_{n\in\mathbb{N}}\frac{\|g(\cdot)\|_{L^p[0,n]}}{n^{1/p}}=A<\infty.\qquad(*)$$

Теорема. При $n\to\infty$ имеем

$$\int_0^1f(x)g(nx)dx\to c\int_0^1 f(x)dx.\qquad (**)$$

Доказательство. Рассмотрим последовательность линейных функций

$$\psi_n:L^{p'}[0,1]\to\mathbb{R},\quad \psi_n(f)=\int_0^1f(x)g(nx)dx.$$

В силу условия (*) эта последовательность ограничена: $\|\psi_n\|=\|g(nx)\|_{L^p[0,1]}\le A$.

Если мы покажем, что формула (**) верна для функций $f\in C^1[0,1]$, то по теореме Банаха-Штейнгауза формула (**) верна и для $f\in L^{p'}[0,1]$. пoскольку $C^1[0,1]$ плотно в $ L^{p'}[0,1]$.

Итак пусть $f\in C^1[0,1]$ тогда

$$\int_0^1f(x)g(nx)dx= c\int_0^1 f(x)dx+f(x)G_n(x)\Big|_0^1-\int_0^1G_n(x)f'(x)dx,$$

где

$$G_n(x)=\int_0^x(g(ns)-c)ds=\frac{1}{n}\int_0^{nx}(g(t)-c)dt.$$

Поэтому $G_n\to 0$ равномерно по $x\in [0,1]$.


Что касается произвольных пределов интегрирования, то надеюсь, что ТС в состоянии справиться с этим самостоятельно.