Предел и интеграл

[Dan B-Yallay]

Сначала тоже хотел предложить "по частям" интегрировать. Ho наткнулся на необходимость существования $f'$ и...

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #612350 писал(а):

ну приближать надо гладкими функциями естессна,

Не нада, а можна. Но и не обязательно.

[Oleg Zubelevich]

еще, очевидно, периодичнось $g$ не нужна, можно взять такое условие:
существует константа $c$ такая, что $\int_0^x(g(s)-c)ds$ -- ограничена

[Dan B-Yallay]

Не нужна для чего?

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #612360 писал(а):

Не нужна для чего?

Не нужна для утверждения. Я не проверял за леностью, но, скорее всего, действительно так. Правда, в подобном обобщении формулировка раздувается до неприличия.

[xmaister]

Вот тут 2 способа разобрано.

[Oleg Zubelevich]

таки напишу доказательство.


Предположим, что функция $g\in L^p_{loc}(\mathbb{R}_+),\quad p\in(1,\infty],\quad f\in L^{p'}[0,1]$.
Предположим, что существует константа $c$ такая, что функция $\int_0^x(g(s)-c)ds$ -- ограничена на $\mathbb{R}_+$, и

$$\frac{\|g\|_{L^p[0,n]}}{n}<\infty,\quad n\in\mathbb{N}$$

.

Теорема. При $n\to\infty$ имеем

$$\int_0^1f(x)g(nx)dx\to c\int_0^1 f(x)dx.$$

Доказательство. Рассмотрим последовательность линейных функций

$$\psi_n:L^{p'}[0,1]\to\mathbb{R},\quad \psi_n(f)=\int_0^1f(x)g(nx)dx.$$

Уже доказано (post612347.html#p612347) что данная последовательность сходится к чему надо на пространстве $C^1[0,1]$, которое плотно в $L^{p'}[0,1]$. По теореме Банаха-Штейнгауза она сходится на $L^{p'}[0,1]$.