Одно док-во Olega Zubelevicha

[Keter]

Oleg Zubelevich, спасибо за ответ. Очень интересно разбираться, действительно очень благодарен Вам.

Не могу обосновать, почему к правой части этого $\int\limits_0^1 f(x)g(nx)\, dx = f(x) G_n(x)\Big|_0^1-\int\limits_0^1 f'(x)G_n(x)\, dx$ добавляется еще $c\int\limits_0^1 f(x)\, dx$ ?

Хочу попробовать, не ссылаясь на теорему Банаха-Штейнгауза, доказать, что
если $(**)$ верна для $f \in C^1,$ то тогда $(**)$ верна и для $f \in L^{p'}.$
С чего лучше начать? Интересно разобраться почему именно так.

Где можно прочитать о применение теоремы Банаха-Штейнгауза, посмотреть примеры?