2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:01 


29/08/11
1137
ИСН, та то я уже сделал (про график)..
Ну хорошо, пусть $n=1$, как оценить $\int\limits_{0}^{1}f(x)g(x)dx$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:22 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
ИСН в сообщении #612040 писал(а):
....
По-моему, это будет ${1\over T}\int\limits_0^1f(x)dx\int\limits_0^Tg(x)dx$. Когда ответ длиннее условия, то встаёт вопрос, а стоило ли его искать...



ИСН, но как же Вы всё-таки добились такого результата? Что за графики изобразили? Весь мой опыт и знания свидетельствуют о том, что интеграл от произведения двух функций нельзя разбить просто на произведение интегралов от каждой функции, если речь об однократном интеграле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Keter в сообщении #612222 писал(а):
как оценить $\int\limits_{0}^{1}f(x)g(x)dx$?

Никак. Ведь и правда,
Shtorm в сообщении #612233 писал(а):
интеграл от произведения двух функций нельзя разбить просто на произведение интегралов от каждой функции, если речь об однократном интеграле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:37 


10/02/11
6786
хорошая задача , хотя и простая, напоминает перемешивание

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ИСН в сообщении #612040 писал(а):
По-моему, это будет ${1\over T}\int\limits_0^1f(x)dx\int\limits_0^Tg(x)dx$.

Во всяком случае, если ответ вообще существует, то он может быть только таким, т.к. это безусловно верно для синуса плюс константы.

И он действительно такой, это достаточно очевидно следует из равномерной непрерывности первой функции (непрерывность второй не нужна, для неё достаточно просто интегрируемости).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну я как думал. Разобьём интервал (0,1) на 10 участков. На каждом участке f меняется мало - можно считать константой. Теперь - что делает g(nx). Эта функция периодическая. Период у неё ... какой? Значит, на этом отрезочке укладывается... сколько периодов? Значит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Собственно, что надо доказать-то? что если вторая функция в среднем по периоду нулевая, то весь интеграл стремится к нулю (такой вот вариант леммы Римана-Лебега). Ну так разобьём единичный отрезок на отдельные периоды плюс, возможно, совсем маленький хвостик справа, который можно не учитывать, т.к. интеграл по нему-то уж точно стремится к нулю. Полный интеграл по всем выделенным периодам не изменится, если на каждом из них вычесть из первой функции её значение, скажем, на левом конце того периода. Однако после такой замены первый сомножитель будет стремиться к нулю равномерно на всём промежутке интегрирования, вот и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 15:59 


10/02/11
6786
думаю достаточно $f,g\in L^2(\mathbb{R}_+)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 16:05 


29/08/11
1137
Как на задачу влияет период $T$? Когда он очень маленький или когда он очень большой, $T>1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
да

-- Ср, 2012-08-29, 17:16 --

я имел в виду: да, задумайтесь над этим тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 16:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Keter в сообщении #612260 писал(а):
Как на задачу влияет период $T$?

А почему он должен как-то влиять?

Oleg Zubelevich в сообщении #612258 писал(а):
думаю достаточно $f,g\in L^2(\mathbb{R}_+)$

Вообще из любой сопряжённой пары пространств (кроме $L_{\infty}$ для первой функции), т.е. практически всегда, когда этот интеграл вообще корректен. Хотя бы потому, что относительно любой интегральной нормы любую первую функцию можно сколь угодно точно приблизить непрерывными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Вот грубое изложение идей, высказанных предыдущими ораторами; доказательства продуцируйте самостоятельно.
Пусть $n$ таково, что в интервал [0,1] влезло $m$ периодов. Хвост не влезшего периода(если есть) можно отбросить, основания для этого уже озвучены ewert-ом:
$$\begin{align*}
\int_0^1 f(x)g(nx)dx =\sum\limits_{i=1}^m\int_{\frac{i-1}{m}}^{\frac i m}f(x)g(nx)dx & \approx \sum\limits_{i=1}^m f(x_i)\int_{\frac{i-1}{m}}^{\frac i m}g(nx)dx \quad x_i \in \Big(\dfrac {i-1} {m},\dfrac  i m \Big)\\
& = \sum\limits_{i=1}^m f(x_i)\int_{0}^{\frac 1 m}g(nx)dx\\
& =  \sum\limits_{i=1}^m f(x_i) \dfrac 1 m \dfrac 1 {\frac 1 m}\int_0^{\frac 1 m}g(nx)dx\\
&=\ldots
\end{align*}$$
$\displaystyle \frac 1 {\frac 1 m}\int_0^{\frac 1 m}g(nx)dx$ -это среднее значение функции $g(nx)$ на интервале $[0, \frac 1 m]$, (который является периодом) а оно равно среднему $\dfrac 1 T \displaystyle\int_0^T g(x)dx$ , поэтому
$$\begin{align*}
\ldots =\dfrac 1 T \int_0^T g(x)dx \cdot  \sum\limits_{i=1}^m f(x_i) \dfrac 1 m
\end{align*}$$
последняя сумма в пределе дает $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 20:05 


10/02/11
6786
Пусть функция $g$ равна нулю в среднем и ее превообразная $G(x)$ -- тоже. Тогда

$$\int_0^1f(x)g(nx)dx=\frac{1}{n}\Big(f(x)G(nx)\Big|_0^1-\int_0^1f'(x)G(nx)dx\Big)\to 0$$

если $g$ не равна нулю в среднем то $g(x)=\frac{1}{T}\int_0^Tg(x)dx+w$ , где $w$ -- равна нулю в среднем

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 20:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Эф не дифференцируема. И пусть это и семечки, но всё-таки.

Я ж практически прямым текстом изложил тогда практически полное доказательство (для непрерывного случая).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел и интеграл
Сообщение29.08.2012, 20:10 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #612349 писал(а):
Эф не дифференцируема. И пусть это и семечки, но всё-таки.

ну приближать надо гладкими функциями естессна, вроде обсудили уже

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group