2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 10:21 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
${x''}=-3\pi^2\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$ таков ответ да.
А что получится если находить третью, четвёртую, пятую трам-пам-пам производные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
В принципе, это тоже дифференциальное уравнение, но от Вас ждут другого. Есть стандартное уравнение гармонических колебаний и, наверное, надо было просто подставить туда найденные параметры (амплитуду, начальную фазу, частоту)...
Я хотел просто показать, как это уравнение получается, но чего-то не удалось :oops:
А может быть и не надо это уравнение выводить, а то преподаватель заподозрит в высокомерии. Не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 13:11 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
Ничего на ум не идёт.
Обобщённое гармоническое колебание записывается так
$\dfrac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$
Куда же тут подставлять? Может я неправ?
Нет Вы хорошо объяснили вывод. Это я запарился с параметрами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Повторю.

${x}=3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

${x'}=-3\pi\sin({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

${x''}=-3\pi^2\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})=-\pi^2\cdot 3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})=-\pi^2\cdot x$

Или ${x''}+\pi^2\cdot x=0$

Ровно то, что заказывали. Вообще, к дифуру, который относится к конкретному движению, положено прилагать условия. Тут просто получить, что

$x(0)=0; x'(0)=?$

Уравнение второй степени и два условия. Очень голономненько.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 18:14 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
$x(0)=0; x'(0)=-3\pi; x''(0)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Ну значение второй производной в нуле излишне. Ведь оно из этого уравнения и первого условия следует. Какова степень уравнения, столько и положено условий. А уж какие они будут это зависит от того, что нам известно о процессе. Может быть начальные, а может быть граничные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 18:46 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
Лучше Вас никто не объяснил бы :D. Значит поведение данного уравнения задают два начальных условия и ограничивают только две производных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Уравнение себя никак не ведёт, ведёт себя его решение. Если мы возьмём голое уравнение и решим его, то получим около миллиона различных колебаний. Они будут отличаться амплитудами и фазами, а одинаковая будет только частота. С помощью начальных условий мы можем выделить единственное колебание, которое описывается первоначальной формулой.
Полученное уравнение даёт только гармонические колебания. А если мы будем увеличивать степень производных, то кроме колебаний можем получить ещё какие-то ненужные процессы вроде движения колеблющегося маятника от начальной точки в бесконечность. Оно нам надо? Хватит второй степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 19:46 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
Зная одно колебание можно построить график полученного уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Весь график, конечно, не удастся построить, ведь он бесконечный. Но пару-тройку периодов можно. Главное — подобрать масштаб так, чтобы нужная часть графика уместилась на заданном пространстве для построения. Это будет синусоида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
gris в сообщении #824967 писал(а):
Если мы возьмём голое уравнение и решим его, то получим около миллиона различных колебаний.
Маловато однако. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 21:01 


10/02/11
6786
gris в сообщении #824967 писал(а):
возьмём голое уравнение

бесстыдник!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Dan B-Yallay, действительно, я ошибся в устном счёте :oops: Начальная фаза задаётся целым числом градусов, а амплитуда в мм не больше 3 м. Получаем $360\times 3000=1080000$. Чуть больше миллиона. Извиняюсь за невнимательность.
И за скабрезности тоже. На ночь голые уравнения мерещатся. Стыдно :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение11.02.2014, 07:13 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
Эту задачу можно решить очень просто.
Достаточно найти скорость и ускорение и сравнить начальное уравнение колебаний с ускорением

Исходное уравнение $x(t)=A\cos({\omega}{t}+\psi_0)$ (1)

Из этого уравнения найдём скорость

$x'(t)=-A\omega\sin({\omega}{t}+\psi_0)$ (2)

Из этого уравнения найдём ускорение

$x''(t)=-A\omega^2\cos({\omega}{t}+\psi_0)$ (3)

Cравниваем (1) и (3)

$a_x=x''=-\omega^2x$ или $x''+\omega^2x=0$

Чему равна $\omega$ уже найдено из исходного уравнения.

$\omega=\pi$

Получаем ответ $x''+\pi^2x=0$

График думаю как построить

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение11.02.2014, 07:19 
Аватара пользователя


27/02/12
3883

(Оффтоп)

AV777 в сообщении #825156 писал(а):
gris
Эту задачу можно решить очень просто.
Достаточно найти скорость и ускорение и сравнить начальное уравнение колебаний с ускорением
...

Уж если gris и после этого не поймет, как решать задачу, тогда уж и не знаю... :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group