2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 07:34 
Аватара пользователя


09/02/14
123
Уравнение гармонических колебаний имеет вид: ${x}=3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$ (м). Определите амплитуду, циклическую частоту, начальную фазу и период колебаний. Запишите дифференциальное уравнение этих колебаний.
Я нашёл сначала амплитуду ${A}=3$(м).
Нашёл циклическую частоту ${\omega}=\pi^-1$ (c).
Нашёл начальну фазу $\psi_0=\dfrac{\pi}{2}=$90^\circ$$. (градусов)
Нашёл период ${T}=\dfrac{2\pi}{\omega}=2$ (с)
Но как записать дифференциальное уравнение этих колебаний тут я призадумался. Думаю надо дифференцировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Надо знать вид дифура для этого случая. Он связывает переменную и её вторую производную по времени. Так что дифференцировать можно и не один раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:20 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris

${x}=3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$ (м) как я Вас понял нужно его продифференцировать по времени, значит координата ${x`(t)}=-3\pi\sin({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$
а вторая координата ${y}$ её тоже по времени разделять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ну тут одна координата — $x$. Например, колебания грузика на пружине. Вот икс как функцию времени и продифференцируйте два раза.
Не забывайте, что в дифференциальном уравнении исчезнут фаза и амплитуда, и его надо дополнить начальными условиями.
А, понял :-) "Разделить", нужно первую производную, чтобы получить вторую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:28 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
${x``(t)}=3\pi^2\sin({\pi}{t})$
Как же так? График по игреку тоже проходит, а у Нас только одна координата. Объясните проще почему два раза?

Каким образом исчезнут фаза и амплитуда? Начальные условия - это к нулю приравнять диффренциал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Почти правильно. Только куда девались минус и начальная фаза?
Вы неправильно продифференцировали второй раз. Начальные условия можно найти из первоначального уравнения и первой производной. Подставим, например, $t=0$ и получим $x(0)=?; x'(0)=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:35 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris

Минуса там не будет и начальной фазы тоже. Я уже раскусил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Как это не будет? $(\cos x)'=-\sin x;\;\;(\sin x)'=\cos x$
Амплитуда и начальная фаза пропадут в дифференциальном уравнении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:44 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris

Ой я перепутал :D синус и косинус. $(\cos{x})`=-\sin{x}$ да да прошу меня извинить за торопливость.

${x}=-3\pi^2\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$ (м)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Итак,

${x}=3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

${x'}=-3\pi\sin({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

${x''}=-3\pi^2\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})=-\pi^2\cdot 3\cos({\pi}{t}+\dfrac{\pi}{2})$

И мы замечаем, что функция и её вторая производная очень похожи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 09:06 


05/09/12
2587

(Оффтоп)

И так далее без конца, как бесконечная цепь причин, сама себя порождающая и не имеющая начальной причины... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 09:12 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris
так так похожи и отличаются друг от друга. Какой вывод из всего этого можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 09:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ну если <нашу> вторую производную разделить на <нашу> функцию, что сократится, а что останется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 09:39 
Аватара пользователя


09/02/14
123
gris

$-\pi^2$
Как я понимаю это ответ

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение гармонических колебаний имеет вид
Сообщение10.02.2014, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
$\dfrac {x''}{x}=-\pi^2$, то есть $x''=?$. Вам же уравнение нужно? Вот оно и получится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group