Доказательство теоремы Кантора некорректно

[Мастак]

Xaositect в сообщении #822736 писал(а):

Мастак в сообщении #822734 писал(а):

И как соотносится существование или не существование суръекции с утверждением теоремы?

Вообще-то отсутствие сьюрьекций с $A$ на $B$ - это и есть определение термина "$B$ мощнее $A$".

А если в $B$ есть хотя бы один элемент, то разве мы не можем задать суръекцию на $B$ из любого множества $A$? То есть из всех $A$ в тот единственный элемент $B$.
Каждый элемент$ B$ будет иметь прообраз в $A$.

[Xaositect]

Мастак в сообщении #822745 писал(а):

А если в $B$ есть хотя бы один элемент, то разве мы не можем задать суръекцию на $B$ из любого множества $A$? То есть из всех $A$ в тот единственный элемент $B$.

Если в $B$ единственный элемент, то до (кроме пустого $A$). Это значит, что $B$ не мощнее ни одного множества, кроме пустого.

[Duku]

Someone в сообщении #822664 писал(а):

после внесения нового элемента в список получится другой список

Во-первых, если это другой список, тогда это диагональное число не опровергает его полноту. Это требуется показывать отдельно.
Во-вторых, это может быть тот же самый список, т.к. построение диагонального числа, ничем не примечательный алгоритм, по сравнению с построением самого списка (оба не останавливаются).
Неопределенность бесконечного диагонального числа, ничем не отличается, от неопределенности самого бесконечного списка.

Someone в сообщении #822664 писал(а):

знаете ли Вы определение несчётного множества

Знаю, это определение можно дать только после того, как же приняты некоторые аксиомы. Обсуждение идет на стадии, пока они еще не приняты, пока еще только думаем, стоит ли принять и какие именно.

Xaositect в сообщении #822772 писал(а):

Это значит, что не мощнее ни одного множества, кроме пустого. А если бы сюрьекций нет - то мощнее.

Если же в нем не 1 элемент, то не мощнее любого $n$.

[tolstopuz]

Мастак в сообщении #822745 писал(а):

А если в $B$ есть хотя бы один элемент, то разве мы не можем задать суръекцию на $B$ из любого множества $A$? То есть из всех $A$ в тот единственный элемент $B$.
Каждый элемент$ B$ будет иметь прообраз в $A$.

Этот элемент $B$ - да, будет. А остальные-то почему?

-- Вт фев 04, 2014 20:45:59 --

Duku в сообщении #822799 писал(а):

Someone в сообщении #822664 писал(а):

после внесения нового элемента в список получится другой список

Во-первых, если это другой список, тогда это диагональное число не опровергает его полноту. Это требуется показывать отдельно.

Теорема доказана для любого списка, в частности, для предложенного вами "другого". Нет необходимости переписывать доказательство повторно.

Duku в сообщении #822799 писал(а):

Во-вторых, это может быть тот же самый список, т.к. построение диагонального числа, ничем не примечательный алгоритм, по сравнению с построением самого списка (оба не останавливаются).

Укажите конкретное место доказательства, к которому относятся ваши слова. А именно о "неостанавливающемся алгоритме построения" диагонального числа или списка.

[Someone]

Мастак в сообщении #822734 писал(а):

Xaositect в сообщении #822730 писал(а):

Мастак в сообщении #822726 писал(а):

У суръекции прообразы не обязаны быть единственными.

Именно. Но если мы доказали, что из существования сюрьекции выводится противоречие, то не существует сюрьекций, а значит, не существует и биекций.

И как соотносится существование или не существование суръекции с утверждением теоремы?

Видите ли, у меня такое впечатление, что Вы не знаете ни определения несчётного множества, ни формулировки теоремы Кантора.

Относящиеся к предмету обсуждения определения можно найти в сообщении http://dxdy.ru/post413407.html#p413407.

Оригинальные формулировки и доказательства Кантора Вы можете найти в сообщении http://dxdy.ru/post414177.html#p414177.

Duku в сообщении #822799 писал(а):

Знаю, это определение можно дать только после того, как же приняты некоторые аксиомы. Обсуждение идет на стадии, пока они еще не приняты, пока еще только думаем, стоит ли принять и какие именно.

Тогда, извините, нет предмета обсуждения, и тему следует немедленно снести в Пургаторий. Потому что любые доказательства имеют смысл только в том случае, когда аксиомы, нужные для доказательства, уже сформулированы (явно или неявно).

-- Ср фев 05, 2014 00:31:28 --

Вопрос о том, какие аксиомы следует принять, обсуждался сто лет назад, и в настоящее время не актуален. Подавляющее большинство приняли аксиоматику ZFC или GB. Желающие пользоваться другой аксиоматикой или другой логикой развивают свои теории, а не занимаются глупыми наездами на теорему Кантора в ZFC или GB. Для областей математики, далёких от теории множеств, вопрос о конкретной аксиоматике теории множеств, как правило, вообще не интересен. Кроме теории множеств, есть и другие теории, которые можно было бы использовать в качестве "оснований" математики.

[Мастак]

Someone в сообщении #822885 писал(а):

Оригинальные формулировки и доказательства Кантора Вы можете найти в сообщении http://dxdy.ru/post414177.html#p414177.

спасибо за ссылку, где и

Цитата:

А.А.Зенкин "Ошибка Георга Кантора". - Вопросы философии, 2000, No. 2, 165-168.

PS Вот тексты статьи -
http://clubs.ya.ru/4611686018427396980/ ... em_no=3074
http://math-simple.ya.ru/replies.xml?item_no=48

мда, аналогичная песня, но от много более уважаемого человека

Цитата:

проф. Александр Александрович Зенкин,
Доктор физико-математических наук,
Ведущий научный сотрудник Вычислительного центра РАН

PS И в конце замечание, что вопрос о вообще существовании несчетных множеств остается философским. 8)

[Someone]

Мастак в сообщении #822994 писал(а):

мда, аналогичная песня, но от много более уважаемого человека

Может быть, в своей области он и уважаемый, но в теории множеств он ничего не понимает. Как и Вы.

Мастак в сообщении #822994 писал(а):

вопрос о вообще существовании несчетных множеств

Что такое "вообще существование"?

Мастак в сообщении #822994 писал(а):

Вот тексты статьи

Спасибо, я с ними знаком. Смесь явного бреда и вранья.

Мастак в сообщении #822734 писал(а):

И как соотносится существование или не существование суръекции с утверждением теоремы?

Мастак в сообщении #822994 писал(а):

спасибо за ссылку

Если Вы внимательно прочли оба моих сообщения и, в частности, цитаты из работ Кантора, то должны были бы заметить, что у Кантора речь идёт именно об отсутствии сюръекции, а не биекции. Кроме того, он не использует метод доказательства "от противного", то есть, у него нет предположения типа "пусть последовательность содержит все действительные числа". Он рассматривает произвольную последовательность действительных чисел (правда, предполагает, что эти числа попарно различны, но без этого можно обойтись). И показывает, что в любом интервале найдётся действительное число, не принадлежащее данной последовательности. Кстати, не пользуясь диагональным методом. Диагональный метод он придумал позже.

Вообще, Кантор в этих теоремах (в том числе и в той, где он использует диагональный метод), говорит не о подмножествах, а о функциях (последовательность — это тоже функция). Однако подмножества можно поставить во взаимно однозначное соответствие с функциями, принимающими значения в двухэлементном множестве $\{0,1\}$, поэтому из теоремы для функций следует теорема для подмножеств.

[Мастак]

Someone в сообщении #823020 писал(а):

Мастак в сообщении #822994 писал(а):

мда, аналогичная песня, но от много более уважаемого человека

Может быть, в своей области он и уважаемый, но в теории множеств он ничего не понимает. Как и Вы.

само собой те, кто говорит и пишет про это и так, не понимают и пишут, что и почему не понимают

"ничего" - это злобно как-то 8)

Someone в сообщении #823020 писал(а):

Мастак в сообщении #822734 писал(а):

И как соотносится существование или не существование суръекции с утверждением теоремы?

Мастак в сообщении #822994 писал(а):

спасибо за ссылку

Если Вы внимательно прочли оба моих сообщения и, в частности, цитаты из работ Кантора, то должны были бы заметить, что у Кантора речь идёт именно об отсутствии сюръекции, а не биекции. Кроме того, он не использует метод доказательства "от противного", то есть, у него нет предположения типа "пусть последовательность содержит все действительные числа". Он рассматривает произвольную последовательность действительных чисел (правда, предполагает, что эти числа попарно различны, но без этого можно обойтись). И показывает, что в любом интервале найдётся действительное число, не принадлежащее данной последовательности. Кстати, не пользуясь диагональным методом. Диагональный метод он придумал позже.

Вообще, Кантор в этих теоремах (в том числе и в той, где он использует диагональный метод), говорит не о подмножествах, а о функциях (последовательность — это тоже функция). Однако подмножества можно поставить во взаимно однозначное соответствие с функциями, принимающими значения в двухэлементном множестве $\{0,1\}$, поэтому из теоремы для функций следует теорема для подмножеств.

Nemiroff в сообщении #822648 писал(а):

Я предоставил доказательство теоремы Кантора.
Мням. А давайте так:
$\eqno (0.1)$ Пусть $X$ --- произвольное множество, $\mathcal{P}(X)$ --- множество всех подмножеств $X$.
$\eqno (0.2)$ Пусть $f$ --- биекция $X$ на $\mathcal{P}(X)$. Требуется доказать или опровергнуть её существование.
$\eqno (1)$ Пусть $Y = \{ x \in X : x \not\in f(x) \} $.
$\eqno (2)$ $f$ --- биекция, потому $Y = f(y)$ для некоторого $y \in X$.
$\eqno (3)$ Если $y \in Y$, то $y \in f(y)$ и $y \not\in Y$.
$\eqno (4)$ Если $y \not\in Y$, то $y \not\in f(y)$ и $y \in Y$.
$\eqno (5)$ Противоречие --- $f$ не существует.
На вопрос о некорректности получил какие-то отмазки вроде "аксиома тут что-то не совсем того".

Вы эту формулировку и "док-во" взяли из Википедии (или оттуда, где такой вариант).
Но в Вики четче ("подстрижено").

И "претензии" к аксиоме выделения, которая подразумевается при определении множества B (у Вас - Y) - к тому, что возможно задать математически корректное, но при этом парадоксальное и абсурдное по логике.
Вот на основании чего мы полагаем, что B - не пусто?

[Xaositect]

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

И "претензии" к аксиоме выделения, которая подразумевается при определении множества B (у Вас - Y) - к тому, что возможно задать математически корректное, но при этом парадоксальное и абсурдное по логике.

Например?

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

Вот на основании чего мы полагаем, что B - не пусто?

Там нигде не предполагается, что $B$ не пусто.

[Мастак]

Xaositect в сообщении #823194 писал(а):

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

И "претензии" к аксиоме выделения, которая подразумевается при определении множества B (у Вас - Y) - к тому, что возможно задать математически корректное, но при этом парадоксальное и абсурдное по логике.

Например?

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

Вот на основании чего мы полагаем, что B - не пусто?

Там нигде не предполагается, что $B$ не пусто.

Если B - пусто, то разве должно быть отображение в пустое множество (включив пустое во множество
всех подмножеств)?
PS То есть как с Вашей суръекцией, которая оказалась не при чем?


Аксиома выделения: "Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество c, высказав суждение о каждом элементе b данного множества a" :: $ \forall a \exists!c \forall b \ ( b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )$.
Например, парадокс:
«Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров». Где должен жить мэр Города мэров?
Записываем по схеме выделения:
$b$ - произвольный мэр
$c$ - множество жителей города мэров
$a$ - множество мэров
$\Phi[b]$ - не должен жить в своем городе.

[Xaositect]

Мастак в сообщении #823207 писал(а):

Если B - пусто, то разве должно быть отображение в пустое множество (включив пустое во множество
всех подмножеств)?

Естественно, пустое множество входит в множество всех подмножеств и должно иметь прообраз.

Мастак в сообщении #823207 писал(а):

Записываем по схеме выделения:
$b$ - произвольный мэр
$c$ - множество жителей города мэров
$a$ - множество мэров
$\Phi[b]$ - не должен жить в своем городе.

А теперь все это в виде формул теории множеств, пожалуйста.

[Someone]

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

"ничего" - это злобно как-то

Мастак, тот факт, что Вы привели цитату (в виде отсканированного текста) из работы Кантора "Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном", § 12, подтверждает моё мнение: Вы не понимаете теории множеств. Цитата эта вообще не имеет никакого отношения к обсуждаемому вопросу о мощности множества действительных чисел или о мощности множества подмножеств. Что касается "злобности", то Вы ошибаетесь. Я не злюсь (я вообще человек весьма уравновешенный), хотя безграмотные "опровергатели", считающие специалистов идиотами и желающие их просветить, мне изрядно надоели.

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

Вот на основании чего мы полагаем, что B - не пусто?

А зачем нам полагать, что оно не пусто? Шут с ним, пусть будет пустым.

Мастак в сообщении #823207 писал(а):

Если B - пусто, то разве должно быть отображение в пустое множество (включив пустое во множество
всех подмножеств)?

А откуда взялось отображение в пустое множество? У нас отображение в множество подмножеств (если речь идёт об этом варианте теоремы), а множество подмножеств всегда не пусто. По тривиальной причине: оно всегда содержит в качестве элемента $\varnothing$, то есть, пустое множество. Уж хотя бы здесь-то могли бы не путаться, а то совсем печальная картина получается.

Мастак в сообщении #823207 писал(а):

Аксиома выделения: "Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество c, высказав суждение о каждом элементе b данного множества a" :: $ \forall a \exists!c \forall b \ ( b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )$.

Формальная запись не совпадает со словесной формулировкой: в словесной формулировке написано "по меньшей мере одно", а в формальной — "единственное".

Мастак в сообщении #823207 писал(а):

То есть как с Вашей суръекцией, которая оказалась не при чем?

Какое-то загадочное высказывание.

[Мастак]

Someone в сообщении #823241 писал(а):

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

"ничего" - это злобно как-то

Мастак, тот факт, что Вы привели цитату (в виде отсканированного текста) из работы Кантора "Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном", § 12, ...

А Вы не могли бы указать в каких конкретно опубликованных источниках строго по предмету вопроса?
PS Попытался найти "на скорую руку" что-то в самой популярной работе. Sorry
PS Конечно все эти формулировки и доказательства, которые довольно в разных книгах и учебниках,
могут вообще иметь к Г. Кантору лишь условное отношение, а у Кантора совсем не так в деталях,
которые и обсуждаются.

Someone в сообщении #823241 писал(а):

Мастак в сообщении #823207 писал(а):

Аксиома выделения: "Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество c, высказав суждение о каждом элементе b данного множества a" :: $ \forall a \exists!c \forall b \ ( b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )$.

Формальная запись не совпадает со словесной формулировкой: в словесной формулировке написано "по меньшей мере бы одно", а в формальной — "единственное".

вообще надо четче

Из ZF
Аксиоматика теории множеств ru.math.wikia.com

[Xaositect]

Мастак в сообщении #823255 писал(а):

Аксиоматика теории множеств ru.math.wikia.com

Там ошибка или неаккуратность. Либо должно быть либо ограничение на $\varphi$, что она не может содержать $b$ свободно, либо имеется в виду, что формула $\varphi(x)$ имеет ровно одну свободную переменную $x$.

[Мастак]

Someone в сообщении #823241 писал(а):

Мастак в сообщении #823192 писал(а):

"ничего" - это злобно как-то

Мастак Что касается "злобности", то Вы ошибаетесь. Я не злюсь (я вообще человек весьма уравновешенный), хотя безграмотные "опровергатели", считающие специалистов идиотами и желающие их просветить, мне изрядно надоели.

Надо заметить, с чего такое начинается (или в этом случае, как говорится - "откуда ноги растут"). Никто (кто может заметить что-то неладное) никого не собирается опровергать (и тем более "выгонять" из "трансфинитного рая", интуитивно пребывая там же (Какая же интуиция
будет не согласна с тем, что "Любое множество 'меньше', чем множество всех его подмножеств"?)), обычно зная, что вопрос пока ещё находится среди настоящих (!) специалистов в состоянии обсуждения.

Это всего лишь беспристрастный взгляд на то, что предлагается наверно всем
студентам негуманитариям (и многим гуманитариям также) как стандарт.
И основные определения в общем знают все. И спрашивающие вполне готовы получить
в ответе: "Ты недопонял то-то и то-то, а недопонял потому, что не заметил то-то и то-то,
что объясняется так-то, например, там-то.". Всего лишь.
PS А опровергателями или контр-революционерами их может сделать только лишь какая-то "революционная ситуация" (чем занимаются другие теории, и тут хочется вспомнить товарища Ленина, про которого Вы должны много больше меня знать).