об уравнении Навье-Стокса

[shwedka]

С казахским академиком, конечно, непросто.
Не всегда можно достоверно отделить то, что говорил он, от того, что приукрасили журналисты.

По существу дела, теоремы существования сами по себе не улучшают вычислительного процесса. Они всего лишь дают вычислителю некоорую уверенность в том, что они вычисляют нечно существующее, что их 'приближенные решения' есть приближения к настоящему решению.
Другое дело- в том, что нередко доказательство теоремы существования опирается на оценки. И эти оценки для вычислений оказываются полезными.
Мне известны, например, работы моих шведских коллег (и не только их!), в которых оценки для решений (когда таковые существуют!) используются для конструирования адаптивных вычислительных методов.

Вынеся это обстоятельство за скобки, я бы все же расценила поведение Отелбаева как несколько сомнительное и непрофессиональное.
Следовало, по крайней мере, очень тщательно следить за журналистскими первоисточниками, чтобы избежать текстов в медиа, за которые впоследствии прошлось бы краснеть. Далее, неприлично продолжать светиться в медиа, пока есть сомнительные места в тексте. Признание справедливости контрпримеров и борьба за исправление доказательства не должны ограничиваться переданными через третьи руки замечаниями на нескольких специалированных форумах.

[g______d]

IAA в сообщении #821189 писал(а):

Ибо, на конечных временах (всех физически разумных), как мы убедились, все доказано.

Детский сад же. Прочитайте еще раз статьи по вашим ссылкам. Для любых начальных данных, действительно, есть время $T$, такое что на $[0;T]$ гарантированно все хорошо. Но это время зависит от данных и никто не знает, почему его хватит для всех физических задач. Для любого численного алгоритма можно подобрать такие данные (бесконечно дифференцируемые), что все указанные вами статьи дадут гарантированное время работы не выше, скажем, $1/1000$ секунды. Причем если просчитать эту миллисекунду и получить новые данные, то для них алгоритм даст уже только одну микросекунду. И т. д. Т. е. дальше 2 миллисекунд мы не продвинемся. Это явление называется blow-up, известно уже десятки лет, и задача тысячелетия как раз и состоит в том, чтобы доказать, что такого не бывает.

-- 31.01.2014, 22:54 --

shwedka в сообщении #821214 писал(а):

Другое дело- в том, что нередко доказательство теоремы существования опирается на оценки. И эти оценки для вычислений оказываются полезными.

Да и вообще, если у нас есть вычислительный метод и нет доказанных оценок погрешности, то его применимость весьма ограничена. Никто не будет использовать с жизненно важными целями прибор, про который не известно, когда им можно пользоваться а когда нельзя.

shwedka в сообщении #821214 писал(а):

Далее, неприлично продолжать светиться в медиа, пока есть сомнительные места в тексте.

По-моему, вся кампания в прессе была еще когда автор и "три казахстанских математика и один российский" не сомневались в тексте.

[shwedka]

На странице Института Математики (другого, не возглавляемого Отелбаевым)
http://www.math.kz/index.php/ru/517
появилась книга о нем, написанная его коллегой
Кальменов Тынысбек Шарипович: (МУХТАРБАЙ ОТЕЛБАЕВ - ВЗЛЕТ САМОУЧКИ К ВЕРШИНАМ НАУКИ).
Можно скачать и почитать. (40 МБ, медленный канал).
У меня нет слов!

[Утундрий]

shwedka в сообщении #821214 писал(а):

По существу дела, теоремы существования сами по себе не улучшают вычислительного процесса. Они всего лишь дают вычислителю некоорую уверенность в том, что они вычисляют нечно существующее, что их 'приближенные решения' есть приближения к настоящему решению.

Да, я имел в виду ровно это. Только хочу ещё добавить один момент. Вместе с благословением сей результат (буде он справедлив) привносит также и неимоверную скуку. Вы мучились, сомневались, что-то поняли, но казалось ещё не всё? А вот фиг вам - ничего другого в Н.-С. не содержится. Так что обтекайте свои оживальные тела в CFD пакетах и дальше, высокая навука вам только постоянную Кармана теоретически вычислит и не более.

[IAA]

g______d в сообщении #821219 писал(а):

IAA в сообщении #821189 писал(а):

Ибо, на конечных временах (всех физически разумных), как мы убедились, все доказано.

Детский сад же. Прочитайте еще раз статьи по вашим ссылкам. Для любых начальных данных, действительно, есть время $T$, такое что на $[0;T]$ гарантированно все хорошо. Но это время зависит от данных и никто не знает, почему его хватит для всех физических задач. Для любого численного алгоритма можно подобрать такие данные (бесконечно дифференцируемые), что все указанные вами статьи дадут гарантированное время работы не выше, скажем, $1/1000$ секунды. Причем если просчитать эту миллисекунду и получить новые данные, то для них алгоритм даст уже только одну микросекунду. И т. д. Т. е. дальше 2 миллисекунд мы не продвинемся. Это явление называется blow-up, известно уже десятки лет, и задача тысячелетия как раз и состоит в том, чтобы доказать, что такого не бывает.

Козьма Прутков как-то сказал: специалист подобен флюсу полнота его одностороння.

Вы рассуждаете здесь, как чистый математик и совершенно не видите "физики".

Дело в том, что режим с обострением (или blow-up) - уникальная вещь и если исследователь наткнулся на него в том месте, где никто раньше его не видел, то это редкая удача для него.

Если его алгоритм вдруг начинает дробить шаг по времени, решение резко растет и "упирается" в определенную точку t_0, то это значит в этой точке - обострение, некий взрывной процесс. Физик прекрасно понимает, что дальше уже искать решение не нужно, так как что нужно, он уже нашел и бежит радостно писать статью в журнал.

Чистый же математик этого не понимает и думает, что это просто плохой алгоритм его не пускает дальше продвигаться по времени и идет дальше мучаться с теоремами существования (бедняга).

Пример.
В этой статье

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

описан пример ур. теплопроводности с нелинейной теплопроводностью и источником, решение которого имеет вид режима с обострением:

T\sim 1/(1 - t/t_0)^\alpha

Здесь видно, что решение за "временем обострения" не имеет физического смысла и численно искать его просто не нужно.

PS.
Кстати сказать, режимы с обострением для несжимаемых НС мне неизвестны. Если приведете пример, буду благодарен.

[vicvolf]

IAA в сообщении #821268 писал(а):

Здесь видно, что решение за "временем обострения" не имеет физического смысла и численно искать его просто не нужно.

Вот именно! Если доказано, что в каком-то случае решение не существует, то искать его численными методами не надо. Для этого и нужны теоремы существования.

[Munin]

vicvolf в сообщении #821279 писал(а):

Если доказано, что в каком-то случае решение не существует, то искать его численными методами не надо.

Вовсе не обязательно. В жизни часто случаются ситуации, когда:

— Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как ее решать.

[vicvolf]

Munin в сообщении #821281 писал(а):

vicvolf в сообщении #821279 писал(а):

Если доказано, что в каком-то случае решение не существует, то искать его численными методами не надо.

Вовсе не обязательно. В жизни часто случаются ситуации, когда:

— Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как ее решать.

Давайте оставаться в пределах математического смысла.

[Утундрий]

Кристобаль просто не упомянул, что это будет уже совсем другая задача...

[Munin]

vicvolf в сообщении #821286 писал(а):

Давайте оставаться в пределах математического смысла.

При постоянных упоминаниях физики? Трудно.

Утундрий в сообщении #821289 писал(а):

Кристобаль просто не упомянул, что это будет уже совсем другая задача...

Во-о-от, вот это в корень. Респект.

[g______d]

IAA в сообщении #821268 писал(а):

Козьма Прутков как-то сказал: специалист подобен флюсу полнота его одностороння.

Вы рассуждаете здесь, как чистый математик и совершенно не видите "физики".

Ну так разумеется. Вы изначально заявили математическое утверждение (что сходимость численных методов доказана), поэтому и обсуждать его нужно на математическом уровне. Если бы Вы сказали "эксперимент показывает, что современные алгоритмы работают на всех физически интересных данных", то вопросов, по крайней мере у меня, не было бы (хотя я и не знаю, так ли это). По-моему, одним из признаков специалиста является способность отвечать на вопросы в рамках теории, в которой они сформулированы или по крайней мере четко понимать, в какой момент происходит выход за рамки.

IAA в сообщении #821268 писал(а):

Кстати сказать, режимы с обострением для несжимаемых НС мне неизвестны. Если приведете пример, буду благодарен.

Я не знаю. Более того, хороший пример режима с обострением был бы заявкой на контрпример к большой теореме.

Я имел в виду, что проблемы возникают, когда мы пишем спецификации на алгоритм. Например, мы не можем написать "он работает на начальных данных из такого класса и дает такую-то и такую-то погрешность, зависящую от нормы начальных данных и времени". Все, что мы можем написать, — это "он работает на начальных данных из класса $X$ и дает такую-то погрешность на промежутке $[0;T]$, где $T$ оценивается через норму начальных данных в классе $X$". Если алгоритм продолжается дальше, то нам повезло. Можно еще написать, например, что он будет работать если в процессе результаты вычислений удовлетворяют некоторому дополнительному условию: т. е. он либо работает сколько нужно, либо заявляет, что ему плохо и он вырубается. Но мы не можем сказать "на данных из класса $X$ алгоритм гарантированно никогда не вырубится".

[IAA]

vicvolf в сообщении #821279 писал(а):

IAA в сообщении #821268 писал(а):

Здесь видно, что решение за "временем обострения" не имеет физического смысла и численно искать его просто не нужно.

Вот именно! Если доказано, что в каком-то случае решение не существует, то искать его численными методами не надо. Для этого и нужны теоремы существования.

Если вы докажете, что его не существует на ВСЕХ временах, включая сколь угодно мало отличающихся от нуля, тогда конечно.
Но физика многих процессов такова, что решение может существовать лишь до какого-то определенного конечного времени.
Найти это время, часто, вы сможете только численными методами. Именно это время содержит глубокий физический смысл и составляет цель исследования.

[mihailm]

shwedka в сообщении #821246 писал(а):

...Кальменов Тынысбек Шарипович: (МУХТАРБАЙ ОТЕЛБАЕВ - ВЗЛЕТ САМОУЧКИ К ВЕРШИНАМ НАУКИ).
Можно скачать и почитать...

Прочитал (кстати там по-русски страниц 35, остальные на казахском). Отелбаев то, клевый чел, жалко будет, если доказательство не прокатит.
И книга просто шедевр биографической литературы.

[g______d]

IAA в сообщении #821292 писал(а):

Но физика многих процессов такова, что решение может существовать лишь до какого-то определенного конечного времени.
Найти это время, часто, вы сможете только численными методами. Именно это время содержит глубокий физический смысл и составляет цель исследования.

Проблема в том, что есть математическое blow-up time (время, до которого решение гарантированно существует) и "физическое" blow-up time (время, когда численный алгоритм взрывается). И нет теоремы, контролирующей сходимость алгоритма между ними (если алгоритм сколько-нибудь разумный, то математическое будет не позже физического).

Эти времена ни с какой стати не должны быть равны, т. к. математическое время — это лишь нижняя оценка.

-- 01.02.2014, 01:33 --

IAA в сообщении #821268 писал(а):

Кстати сказать, режимы с обострением для несжимаемых НС мне неизвестны. Если приведете пример, буду благодарен.

Можете попробовать сюда посмотреть, хотя я не пытался разобраться: http://users.cms.caltech.edu/~gluo/

[Munin]

g______d в сообщении #821291 писал(а):

Я не знаю. Более того, хороший пример режима с обострением был бы заявкой на контрпример к большой теореме.

То есть, из соображений размерности (у Tao supercriticality) вытекает, что обострение должно быть, а реально его никак не могут найти? Интересный поворот темы, по крайней мере, для меня лично...

g______d в сообщении #821302 писал(а):

Эти времена ни с какой стати не должны быть равны, т. к. математическое время — это лишь нижняя оценка.

Мне казалось, что наоборот, математическое время - верхняя оценка. То есть, даже если строгого blow-up-а не произошло, численному алгоритму уже может стать "нехорошо" на подступах к нему.