прыжки в высоту

[Toucan]

Skeptic в сообщении #819625 писал(а):

lucien в сообщении #819562 писал(а):

...

Поясните пожалуйста, почему угол $\alpha$ не входит в явном виде в ответ? Как получить ответ, как у Савченко?

Skeptic, замечание за избыточное цитирование.

$\alpha$ набирается с обратным слэшем. Поправил.

[Skeptic]

Моё решение задачи 1.3.27 из задачника Савченко.
Расположим систему отсчёта в плоскости траектории камня с началом в центре сферы. Из всего семейства парабол, удовлетворяющих условиям задачи, будет семейство вида $y=\-ax^2+R.$ Эти параболы могут касаться окружности только в одной точке - вершине окружности. Из условия минимизации начальной скорости полёта камня подходит наиболее крутая парабола, наиболее близкая к окружности. Удовлетворяющая условиям задачи парабола минимизирует разность $(-ax^2+R) - \sqrt{R^2-x^2}$ при $-R<x<R$. Решение сводится к нахождению предела при x, стремящемуся к нулю. Это потребует дифференцирования. Можно сначала провести дифференцирование кривых траектории и окружности, и затем сравнить производные. В этом случае предел берётся просто, а решение хорошо видно на симпатичном графике в виде Y,где предел находится с точке пересечений ветвей графика..
В результате находится парабола $y=\-1/2x^2+R$. Зная параболу, ответ $v=2\sqrt{2gR}$ получить дело техники.

[dovlato]

Munin в сообщении #819676 писал(а):

dovlato в сообщении #819658 писал(а):

У меня подозрение, что в иных случаях это различие - какое-то чисто математическое. Но не физическое.

Напрасно. Можно обсудить и физику, но придётся вдаваться в левые подробности. На математическом уровне просто легче всего объяснить, что это вещи разные.

dovlato в сообщении #819658 писал(а):

Математик заявит, что кривая не дифференцируема. Физик процедит - ну и нехай..

Это будет плохой физик. Не умеющий считать - раз, и не умеющий работать с соответствием модели и реальности - два.

Я имею в виду какие-то простые вещи. Пусть, например, точка упруго прыгает по плоскости, совершая повторяющиеся параболические траектории,
с начальной скоростью $V_0$ и с углами взлёта (и падения) $\alpha$ - в каждой очередной параболе.
Тогда при малых $\alpha$ будем иметь высоту подскока и дальность полёта после каждого скачка, равные примерно:

$$h=\frac{V_0^2\alpha^2}{2g}; \quad s=\frac{2V_0^2\alpha}{g}$$

При этом кинетическая энергия будет почти постоянной

$$m(V_0\cos \alpha)^2/2<E<mV_0^2/2$$

И вот человек с недостаточно острым зрением решит, что точка просто скользит по плоскости. Тогда как на самом деле..

[Munin]

Да, я ошибся. Интересно... Есть ли столь же точная аналогия между прыжками с неидеальным ударом и трением скольжения? Как выглядит скольжение по наклонной плоскости (в 3 измерениях)? И главное, какие есть системы, усиливающие прыжки, чтобы их разглядеть?

[dovlato]

Может, в конечном счёте всё упирается в квантовые эффекты? Ведь вся классическая механика - "всего лишь" очень хорошая аппроксимация квантовой.
Тут какой-то квазифилософический вопрос возникает - вот же почему-то при всём при том всём именно классическая механика смогла стать
идеальным полигоном, на котором был созданы чуть ли не все главные понятия физики. И почти что весь её мат. аппарат.. Включая ур-ние Шредингера!
А уж принцип наименьшего действия по своему значению вполне сравним с Началами Евклида, ИМХО.

[Sergey K]

dovlato, потому что аппроксимация хорошая. ну и система понятий штука гибкая, можно потихобнку модифицировать-добавлять в любую сторону.

[Munin]

dovlato в сообщении #820242 писал(а):

Может, в конечном счёте всё упирается в квантовые эффекты?

Всё упирается в эффекты, намного более грубые, чем квантовые. Чтобы телу подпрыгнуть, нужно, чтобы оно всё целиком изменило скорость. По нему прошла бы звуковая волна туда и обратно. И наконец, оно сначала вошло бы в контакт с полом, а потом от него оторвалось. В задаче об ударе это всё считается событиями мгновенными, пренебрежимо короткими по сравнению со временем движения между ударами.

При скольжении же тела по поверхности - всё наоборот. Скольжение с трением может состоять из зацеплений, срывов, ударов и прыжков микроскопических неровностей поверхностей. Но деформации, вызванные этими зацеплениями и срывами, не успевают охватывать всё тело целиком, и скорость, взятая как среднее по телу, ведёт себя как более гладкая функция. Движение тела скорей напоминает движение студня или ластика. Большая часть объёма тела не чувствует деталей трения, не подпрыгивает вообще. Впрочем, это только для одного из видов трения (их есть несколько), и для одного из режимов. Трение - явление довольно сложное и разнообразное, и школьная формула $F=\mu N$ является грубым упрощением, тем не менее удачно охватывающим многие случаи (именно за счёт своей грубости).

dovlato в сообщении #820242 писал(а):

Тут какой-то квазифилософический вопрос возникает - вот же почему-то при всём при том всём именно классическая механика смогла стать
идеальным полигоном, на котором был созданы чуть ли не все главные понятия физики. И почти что весь её мат. аппарат..

По-моему, этот вопрос - ну уж очень квази. Всё очень просто: вся физика построена на дифференциальных уравнениях и задаче Коши для них. Механика даёт только пример, и достаточно универсальный. Механика такая не одна, и можно было бы использовать какую-нибудь другую область. Например, годятся оптика, теория электрических цепей. Но исторически сложилось так, что в качестве архетипа и языка стала использоваться механика.

И кстати, часто одной механики недостаточно. Например, достаточно обширную часть теорфизики составляет теория поля, а в ней архетипом - электродинамика.

[dovlato]

У меня в ходе чтения возник такой же прообраз - студень).
То есть, если я правильно понял, между классической механикой, имеющей дело с (несуществующими) абсолютно твёрдыми телами, и квантовой механикой -
- "пристроилась" теория сплошных сред. И вообще - теории всяких колебаний.

[Munin]

Да, конечно. Именно это - первый уровень усложнения после классической механики.

Ну, правда, есть ещё разные явления, смежные с теорией сплошных сред, но в неё хорошо не "укладывающиеся", а остающиеся всё-таки феноменологически изучаемыми. В том же трении скольжения - это вопросы реальной микроструктуры поверхностей, и явлений, которые реально происходят при скольжении. Например, явление истирания. В других явлениях - это могут быть вопросы неупругих деформаций: пластичность материалов, хрупкое разрушение, развитие трещин.

Где-то могут возникать вопросы термодинамики (например, куда девается механическая энергия, потраченная при трении). Где-то - вопросы гидродинамики и физики жидкостей (например, при трении со смазкой). Электризация при трении и ударе ведёт к электричеству. И вообще, получается большое распутье, связывающее механику с самыми разными разделами физики, достаточно только "взглянуть на механическое тело в микроскоп".

Потом, при приближении к масштабу квантовых явлений, мы "почувствуем" их задолго до атомных масштабов. Дело том, что в физике твёрдого тела, "управляющей" законами сплошной упругой среды, квантовые законы приводят к возникновению набора квазичастиц в твёрдом теле, тоже ведущих себя по квантовым принципам, но заметных на масштабах гораздо больше атомных. Например, электрон в кристалле как будто дифрагирует на дифракционной решётке, "согласует" свою волну с решёткой атомов, и движется, "не замечая" её. Такой электрон будет двигаться как свободная частица в пустоте, пока не столкнётся с каким-нибудь дефектом решётки или другой квазичастицей - то есть, его длина свободного пробега на порядки превышает расстояние между атомами в кристалле. Но квантовые поправки к его движению будут чувствоваться в законах его движения, и в законах статистического распределения такого "газа электронов".

И наконец, на масштабе отдельных атомов будет уже чистая квантовая механика.

[dovlato]

Спасибо. Неожиданное продолжение получило обсуждение задачи о прыгающей лягушке.
Естественный вопрос.. У классической механики существует порог малости, после которого она перестаёт быть применимой;
в силу вступают квантовые эффекты. Так вот, а для квантовой теории на сегодня такого нижнего порога не просматривается?
"Когда я опустился на дно - снизу постучали.." Ст. Ежи Лец.

[Munin]

Нет, не просматривается. На протяжении 20 века несколько раз были предположения, что "мы достигли этого порога, и надо создавать субквантовую физику". Это было при трудностях с электродинамикой и электронами, это было при изучении ядер и ядерных взаимодействий, потом при изучении элементарных частиц. Все годы с конца 20-х по 60-е эти настроения были от сильных до преобладающих. Но потом оказалось, что напрасно. Выяснилось, что квантовая теория прекрасно держится, если её правильно и аккуратно объединить с другими теориями: со СТО и с теорией поля. Таким способом, сначала была разработана квантовая электродинамика, а потом и квантовые теории других взаимодействий: сильного и слабого; и вся теория элементарных частиц встала на прочную основу квантовой теории поля, конкретно воплотившейся в Стандартной Модели.

Но математически в квантовой теории поля есть, всё-таки, неприятности, выражающиеся в расходимостях на нулевых масштабах длины и времени. Они побуждают физиков разрабатывать теории суперсимметрии, теории суперструн, углубляться в проблему квантовой гравитации. Но повторю, это математически. Эксперименты до таких масштабов не дошли, и в ближайшие столетия не дойдут, и экспериментальные проблемы совсем другие - не затрагивающие принципа квантовой теории.

И ещё один момент. Все разрабатываемые теории, которые "ниже" современной квантовой теории (СМ) - они тоже квантовые по своей природе. Они без этого обойтись не могут. Просто они к квантовости добавляют что-то ещё другое. В середине 20 века была, в том числе, попытка добавить ещё одну квантовость :-) но она оказалась не нужной. Сейчас используются другие идеи.

[dovlato]

Возможно, Вам попадались на глаза популярные книги: Алекс Виленкин "Мир многих миров", и Б. Грин "Параллельные миры и глубинные законы космоса".
Что-нибудь можете сказать о них? Виленкина я года полтора назад прочитал с большим интересом.

[Munin]

Могу сказать, что Грин вначале писал хорошую популярщину ("Элегантная Вселенная", "Ткань космоса"), а потом выдал фигню. От Виленкина (именно этого) я вообще хорошей популярной литературы не видел. После выхода этих книг, на форуме появился поток людей с дурными вопросами, которых раньше не было.

[dovlato]

Угу.. и завершилось это разгромом РАН. Я не грешу на Грина. Из любопытства загляните как-нибудь на мэйл ру Ответы, раздел Политика - и Вы увидите такие зияющие вершины..куда там Грину с Виленкиным. Назад, в пещеры.