Бесконечность

[Joker_vD]

Lukin
Даю намек, где в этом рассуждении ошибка. Пусть мы не можем различить два числа $a$ и $b$ если $|a-b|<\varepsilon$. Теперь рассмотрим последовательность $0,\frac12\varepsilon,\varepsilon,\frac32\varepsilon,\dots,\lfloor\frac1\varepsilon\rfloor\varepsilon,1$ — все соседние элементы неразличимы, а $0$ и $1$ — различимы. Обожи.

[Aritaborian]

dvb в сообщении #820067 писал(а):

Какая-то логика присутствует в любой отрасли знания, исключая, быть может, политологию.

Что, зачёт по политологии сдали с четвёртого раза, вот и отказываете ей в логике?

[Lukin]

Joker_vD в сообщении #820171 писал(а):

Даю намек, где в этом рассуждении ошибка.

Да, нет никакой ошибки, терминология другая (это полумножество).

(Оффтоп)

Давеча epros обвинили в том, что он выдает "свои выдумки" за "общепринятое толкование".
Любопытно, авторы по приведенным мной ссылкам тоже "навязывают" свое мнение, "выдавая его за общепринятое" или, просто, знакомят неофитов с существованием разных подходов к бесконечности ?

[Duku]

Someone в сообщении #819931 писал(а):

Ну, поскольку алфавит арифметики предполагается конечным или, в крайнем случае, счётным, а запись каждого утверждения состоит из конечного числа символов, то множество утверждений, которые можно сформулировать в языке арифметики, является счётным (в действительности существует алгоритм, который перечисляет все утверждения). Поэтому все множества, о которых идёт речь, являются счётными.

(выделение мое).
1) Может ли сам этот алгоритм, который перечисляет все утверждения арифметики, быть написан на языке арифметики (или может ли какой-либо язык программирования использоваться, как язык арифметики) ?
2) Сколько всего таких алгоритмов ?
3) Может ли такой алгоритм отличать правильные утверждения от ошибочных (синтаксически или вызывающих ошибку при исполнении) ?
4) Если запустить все такие алгоритмы выписывать все утверждения построчно, каждое в своей строке, то будет ли по диагонали строк (как у Кантора с действительными числами) некое утверждение арифметики, которое не выписал ни один алгоритм ?

[paladin17]

zeropoint в сообщении #810266 писал(а):

И поскольку это чисто человеческая категория мышления, она не может существовать в природе

Можно подумать, человеческие категории не принадлежат природе. :)
Впрочем, это зависит от того, что понимать под природой.

zeropoint в сообщении #810266 писал(а):

Говоря "Вселенная бесконечна" или "есть бесчисленные вселенные", что имеется ввиду? Мне кажется, что имеется ввиду огромный размер или гигантское количество, но не бесконечность в том смысле, в котором она существует в человеческом мышлении. Может ли бесконечность иметь место в природе?

Если уйти несколько назад и рассмотреть наши представления об окружающем мире как созданные нами же самими, можно сказать, что бесконечность - это действительно что-то вроде констатации неисчислимости.
То есть мы знаем (вернее, утверждаем, постулируем), что что-то есть, но при этом же утверждаем, что не можем его как следует упорядочить и вычислить. Вопрос же о том, сможем ли мы когда-либо это упорядочить и вычислить (то есть правда ли бесконечна данная конкретная бесконечность), боюсь, теоретически решён быть не может.

Ну а бесконечность как форма мышления (то есть та самая констатация неисчислимости) с завидным успехом существует, и скорее всего будет существовать и дальше. При этом мы ведь соотносим это понятие прежде всего именно с "природой", так что можно сказать, что она действительно есть в природе.

[Dan B-Yallay]

Duku в сообщении #820329 писал(а):

4) Если запустить все такие алгоритмы выписывать все утверждения построчно, каждое в своей строке, то будет ли по диагонали строк (как у Кантора с действительными числами) некое утверждение арифметики, которое не выписал ни один алгоритм ?

Утверждениями вообще-то принято называть конечные выражения. Что у вас там по диагонали получается....

По предыдущим трем вопросам - кажется было у Шенфилда "Степени неразрешимости"или у Х. Роджерса. "Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость.".

[ratay]

Когда мы говорим, что если на числовой оси между двумя
числами расстояние бесконечно мало, то эти числа мы
различить не можем, мы лишь задаем это как аксиому,
потому что не можем представить что-то иное. А потом,
поскольку это уже неявно есть в аксиомах, мы это докажем.
То есть соорудим очередную тавтологию.
Но мы можем представлять бесконечно малое как сущность
отличную от нуля и от конечного числа. Если не получается
представить - надо подумать подольше. На имеющиеся
результаты математики это не повлияет никак, но поможет двигаться дальше, отбросив принцип "Этого не может быть
потому что не может быть никогда".
И абсолютно верно, что сущность бесконечности не
математическая проблема. Сущность любого основного
понятия - это вопрос философии, то есть качественного
взгляда на мир.

[Nemiroff]

ratay в сообщении #820397 писал(а):

Когда мы говорим, что если на числовой оси между двумя
числами расстояние бесконечно мало, то эти числа мы
различить не можем, мы лишь задаем это как аксиому,
потому что не можем представить что-то иное.

"Мы" такого не говорим.

[st rik]

А вот есть ли какая-нибудь классификация бесконечностей, как сказать-то, по продуктивности? Вот можно представлять себе бесконечно: 1. одну и ту же точку. 2. её же периодически. 3. ведя счёт. 3. её движение по окружности. 4. по прямой. итд. (плюс промежуточные варианты). То же для двух точек. итд. По идее, это всё отличающиеся объекты. По определённым признакам устанавливать соответствия (отношения) между такими "объектами". Ну это скорее всего в порядке бреда.

[Nemiroff]

st rik в сообщении #820577 писал(а):

А вот есть ли какая-нибудь классификация бесконечностей, как сказать-то, по продуктивности?

Ну конечно: бесконечно можно смотреть на огонь, воду и работу других людей. Это же давно известный факт.

[st rik]

Nemiroff в сообщении #820580 писал(а):

st rik в сообщении #820577 писал(а):

А вот есть ли какая-нибудь классификация бесконечностей, как сказать-то, по продуктивности?

Ну конечно: бесконечно можно смотреть на огонь, воду и работу других людей. Это же давно известный факт.

огонь - энтропия, вода - константа, работа других людей - негэнтропия? пожалуй бесконечны

[ratay]

st rik-у: разумеется, бесконечность не есть что-то
однозначно определенное. Есть бесконечность натуральных
чисел, есть бесконечность непрерывной числовой оси, есть
бесконечность многомерных пространств, зависящая от числа измерений. Точнее, от размерности, поскольку мы
можем построить бесконечный фрактальный объект с нецелой размерностью. Наверняка существуют (или
появятся) какие-то другие варианты.

[warlock66613]

ratay в сообщении #820694 писал(а):

мы
можем построить бесконечный фрактальный объект с нецелой размерностью

Хаусдорфовой размерностью.

[Aritaborian]

ratay в сообщении #820694 писал(а):

мы можем построить бесконечный фрактальный объект с нецелой размерностью.

Всегда нужно уточнять, что именно у него бесконечное.

warlock66613 в сообщении #820826 писал(а):

Хаусдорфовой размерностью.

;-)

[ratay]

Когда я говорю о бесконечности фрактального пространства,
я имею в виду бесконечность его линейных размеров, как
и у плоскости, трехмерного пространства и т.д. Хотя,
конечно, структура фрактала отличается от структуры
привычных нам геометрических непрерывных пространств.
Появляется внутренняя, точечная связность, кривизна,
может, что-то еще - пока неясно.
А размерность, конечно, хаусдорфова. Но интересно, что
если мы для построения трехмерного бесконечного фрактала
возьмем четырехмерный кубик, разобьем его на 256 ячеек
(каждое ребро разобъем на 4 части) и оставим из них 64,
то зависимость объема такого фрактала от его линейных
размеров будет привычной нам кубической. В таком
бесконечном фрактале мы тоже сможем выделять привычные
нам кубы, шары и прочие геометрические объекты.