2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 27  След.
 
 
Сообщение11.10.2007, 12:43 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер писал(а):
Предлагаю еще одно неравенство в общую копилку.
$4 (xy + yz + zx)\leqslant 3 xyz + 9, x+y+z = 3$.

Если вы имеете в виду доказать, что $4 (xy + yz + zx)\leqslant 3 xyz + 9$
для неотрицательных $a,$ $b$ и $c,$ таких, что $a+b+c=3,$
то это неравенство Шура. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 19:00 


10/03/07
59
Казань
Сегодня придумал, но не знал, что Шур уже над ним поработал, благодарю за информацию. Тогда вот другое, похожее:
Для тех же $x,y,z \geqslant 0 $ в соотношениях
$1/2 \leqslant xyz \leqslant 2/3 (xy+yz+zx) -1$
правое неравенство следует из левого.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 19:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Скорцонер писал(а):
Сегодня придумал, но не знал, что Шур уже над ним поработал, благодарю за информацию. Тогда вот другое, похожее:
Для тех же $x,y,z \geqslant 0 $ в соотношениях
$1/2 \leqslant xyz \leqslant 2/3 (xy+yz+zx) -1$
правое неравенство следует из левого.

Оба неравенства не верны. Левая и правая нарушается при x=y=0,z=3, мало того при этом получаем $\frac 12 \le -1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 21:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Вот простое, но прикольное неравенство для любителей неравенства Шура:
докажите, что \[a^a(a-b)(a-c)+b^b(b-a)(b-c)+c^c(c-a)(c-b)\geq0\]
для положительных $a,$ $b$ и $c.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 02:51 


10/03/07
59
Казань
Я имел в виду, что если $x,y,z$ таковы, что выполнено левое неравенство, то правое выполняется автоматически.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 04:56 
Заслуженный участник


01/12/05
458
arqady писал(а):
Вот простое, но прикольное неравенство для любителей неравенства Шура:
докажите, что \[a^a(a-b)(a-c)+b^b(b-a)(b-c)+c^c(c-a)(c-b)\geq0\]
для положительных $a,$ $b$ и $c.$

Ну пусть $a\geqb\geq c$. Если $b>\frac1e$, то $a^a\geq b^b$ и $a^a(a-b)(a-c)\geq b^b(a-b)(b-c)$. Если $b<\frac1e$ то $c^c\geq b^b$ и $c^c(c-b)(c-a)\geq b^b(b-c)(a-b)$
Вот еще нечто похожее: для положительных $a,b,c$ и произвольного действительного $r$
$$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq0$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 13:43 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Юстас писал(а):
Вот еще нечто похожее: для положительных $a,b,c$ и произвольного действительного $r$
$$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq0$$

Это и есть неравенство Шура. :) Для $r=2$ получаем задачу ( первую здесь ), которую имел в виду Скорцонер.
Для $r\geq0$ оно очевидно, a для $r<0$ работает ваш метод.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 15:48 


10/03/07
59
Казань
Действительно, первое неравенство получается из неравенства Шура, (только при $r=1$, а не $2$). Не помогает ли Вам дух И.Шура оперировать с неравенствами? Ведь он, кажется, похоронен в Тель-Авиве?
(Меня к этому неравенству привели другие соображения.)
По поводу последней задачи. Можно добавить, что при
$  1/2 \geqslant xyz,  x,y,z \geqslant 0,  x+y+z = 3 $ справедливо неравенство
$xyz \leqslant 2/9 (xy+yz+zx) $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 22:37 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер писал(а):
Ведь он, кажется, похоронен в Тель-Авиве?

Я знаю, что Шур в 1939 году за два года до смерти приехал в Израиль из Германии.
Про Тель-Авив не знал. Спасибо!
Скорцонер писал(а):
По поводу последней задачи. Можно добавить, что при
$  1/2 \geqslant xyz,  x,y,z \geqslant 0,  x+y+z = 3 $ справедливо неравенство
$xyz \leqslant 2/9 (xy+yz+zx) $.

Вы, конечно, имеете в виду, что нужно доказать, что $xyz \leqslant \frac{2}{9}\cdot (xy+yz+zx) $. :)
Моё доказательство, как говорится, - "из пушки по воробъям", но всё таки доказательство.
Пусть $f(x,y,z)=2(xy+xz+yz)-9xyz$ и $x=\max\{x,y,z\}.$ Тогда $x\geq1$ и
$f(x,y,z)-f\left(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right)=\frac{(9x-2)(y-z)^2}{4}\geq0.$
Осталось доказать, что $f(x,y,y)\geq0,$ когда $x=3-2y$ и $xy^2\leq\frac{1}{2}.$ Получаем:
$xy^2\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow4y^3-6y^2+1\geq0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1+\sqrt3}{2}\right)\left(y-\frac{1-\sqrt3}{2}\right)\geq0\Leftrightarrow y\leq\frac{1}{2}$ поскольку $0\leq y\leq1.$
Отсюда $x\geq2$ и $f(x,y,y)\geq0\Leftrightarrow4xy+2y^2-9xy^2\geq0\Leftrightarrow y(2y-1)(3y-4)\geq0,$
что очевидно. Равенство достигается, например, когда $x=2$ и $y=z=\frac{1}{2}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 09:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер
Здесь появилось интересное обобщение вашей красивой задачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
$a, b, c$ -- внутренние углы треугольника.
$\sin(a)\sin(a-b)+\sin(b)\sin(b-c)+\sin(c)\sin(c-a) \geq 0 ?$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 12:06 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL писал(а):
$a, b, c$ -- внутренние углы треугольника.
$\sin(a)\sin(a-b)+\sin(b)\sin(b-c)+\sin(c)\sin(c-a) \geq 0 ?$

По-моему, это неверно. Попробуйте $a=3^{\circ},$ $b=176^{\circ}$ и $c=1^{\circ}.$ :wink:

TOTAL
Ваша задача напомнила мне следующую простенькую:

найдите все натуральные $n,$ при которых неравенство
$a(a-b)^n+b(b-c)^n+c(c-a)^n \geq 0 $
выполняется для всех действительных $a,$ $b$ и $c$

и вот эту:

найдите все натуральные $n,$ при которых неравенство
$a(a+b)^n+b(b+c)^n+c(c+a)^n \geq 0 $
выполняется для всех действительных $a,$ $b$ и $c,$

которая поинтереснее будет. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
arqady писал(а):
TOTAL писал(а):
$a, b, c$ -- внутренние углы треугольника.
$\sin(a)\sin(a-b)+\sin(b)\sin(b-c)+\sin(c)\sin(c-a) \geq 0 ?$

По-моему, это неверно. Попробуйте $a=3^{\circ},$ $b=176^{\circ}$ и $c=1^{\circ}.$ :wink:


Да, это неверно. Теперь я понимаю, почему в соседней задаче про треугольник я смог доказать это (эквивалентное) неравенство только для остроругольного треугольника.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 19:51 


10/03/07
59
Казань
To arcady.
Да, на указанном Вами сайте прошла интересная дискуссия. Правда, я не понял, что это за такая «EV-Theorem», которая там, похоже, известна каждому?
Кажется, что из первой части задачки обобщения не получится?
P.S. Я было принял Ваш ник за имя, оказалось, что это не так. Вы по-прежнему в Шевах-Мофет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2007, 00:55 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер писал(а):
Правда, я не понял, что это за такая «EV-Theorem», которая там, похоже, известна каждому?

Вот здесь она.
Честно скажу, не люблю падающие с неба теоремы.
Скорцонер писал(а):
Вы по-прежнему в Шевах-Мофет?

Wow! Откуда вы знаете? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 401 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 27  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group