2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 27  След.
 
 
Сообщение11.10.2007, 12:43 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер писал(а):
Предлагаю еще одно неравенство в общую копилку.
$4 (xy + yz + zx)\leqslant 3 xyz + 9, x+y+z = 3$.

Если вы имеете в виду доказать, что $4 (xy + yz + zx)\leqslant 3 xyz + 9$
для неотрицательных $a,$ $b$ и $c,$ таких, что $a+b+c=3,$
то это неравенство Шура. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 19:00 


10/03/07
59
Казань
Сегодня придумал, но не знал, что Шур уже над ним поработал, благодарю за информацию. Тогда вот другое, похожее:
Для тех же $x,y,z \geqslant 0 $ в соотношениях
$1/2 \leqslant xyz \leqslant 2/3 (xy+yz+zx) -1$
правое неравенство следует из левого.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 19:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Скорцонер писал(а):
Сегодня придумал, но не знал, что Шур уже над ним поработал, благодарю за информацию. Тогда вот другое, похожее:
Для тех же $x,y,z \geqslant 0 $ в соотношениях
$1/2 \leqslant xyz \leqslant 2/3 (xy+yz+zx) -1$
правое неравенство следует из левого.

Оба неравенства не верны. Левая и правая нарушается при x=y=0,z=3, мало того при этом получаем $\frac 12 \le -1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 21:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Вот простое, но прикольное неравенство для любителей неравенства Шура:
докажите, что \[a^a(a-b)(a-c)+b^b(b-a)(b-c)+c^c(c-a)(c-b)\geq0\]
для положительных $a,$ $b$ и $c.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 02:51 


10/03/07
59
Казань
Я имел в виду, что если $x,y,z$ таковы, что выполнено левое неравенство, то правое выполняется автоматически.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 04:56 
Заслуженный участник


01/12/05
458
arqady писал(а):
Вот простое, но прикольное неравенство для любителей неравенства Шура:
докажите, что \[a^a(a-b)(a-c)+b^b(b-a)(b-c)+c^c(c-a)(c-b)\geq0\]
для положительных $a,$ $b$ и $c.$

Ну пусть $a\geqb\geq c$. Если $b>\frac1e$, то $a^a\geq b^b$ и $a^a(a-b)(a-c)\geq b^b(a-b)(b-c)$. Если $b<\frac1e$ то $c^c\geq b^b$ и $c^c(c-b)(c-a)\geq b^b(b-c)(a-b)$
Вот еще нечто похожее: для положительных $a,b,c$ и произвольного действительного $r$
$$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq0$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 13:43 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Юстас писал(а):
Вот еще нечто похожее: для положительных $a,b,c$ и произвольного действительного $r$
$$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq0$$

Это и есть неравенство Шура. :) Для $r=2$ получаем задачу ( первую здесь ), которую имел в виду Скорцонер.
Для $r\geq0$ оно очевидно, a для $r<0$ работает ваш метод.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 15:48 


10/03/07
59
Казань
Действительно, первое неравенство получается из неравенства Шура, (только при $r=1$, а не $2$). Не помогает ли Вам дух И.Шура оперировать с неравенствами? Ведь он, кажется, похоронен в Тель-Авиве?
(Меня к этому неравенству привели другие соображения.)
По поводу последней задачи. Можно добавить, что при
$  1/2 \geqslant xyz,  x,y,z \geqslant 0,  x+y+z = 3 $ справедливо неравенство
$xyz \leqslant 2/9 (xy+yz+zx) $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2007, 22:37 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер писал(а):
Ведь он, кажется, похоронен в Тель-Авиве?

Я знаю, что Шур в 1939 году за два года до смерти приехал в Израиль из Германии.
Про Тель-Авив не знал. Спасибо!
Скорцонер писал(а):
По поводу последней задачи. Можно добавить, что при
$  1/2 \geqslant xyz,  x,y,z \geqslant 0,  x+y+z = 3 $ справедливо неравенство
$xyz \leqslant 2/9 (xy+yz+zx) $.

Вы, конечно, имеете в виду, что нужно доказать, что $xyz \leqslant \frac{2}{9}\cdot (xy+yz+zx) $. :)
Моё доказательство, как говорится, - "из пушки по воробъям", но всё таки доказательство.
Пусть $f(x,y,z)=2(xy+xz+yz)-9xyz$ и $x=\max\{x,y,z\}.$ Тогда $x\geq1$ и
$f(x,y,z)-f\left(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right)=\frac{(9x-2)(y-z)^2}{4}\geq0.$
Осталось доказать, что $f(x,y,y)\geq0,$ когда $x=3-2y$ и $xy^2\leq\frac{1}{2}.$ Получаем:
$xy^2\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow4y^3-6y^2+1\geq0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1+\sqrt3}{2}\right)\left(y-\frac{1-\sqrt3}{2}\right)\geq0\Leftrightarrow y\leq\frac{1}{2}$ поскольку $0\leq y\leq1.$
Отсюда $x\geq2$ и $f(x,y,y)\geq0\Leftrightarrow4xy+2y^2-9xy^2\geq0\Leftrightarrow y(2y-1)(3y-4)\geq0,$
что очевидно. Равенство достигается, например, когда $x=2$ и $y=z=\frac{1}{2}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 09:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер
Здесь появилось интересное обобщение вашей красивой задачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
$a, b, c$ -- внутренние углы треугольника.
$\sin(a)\sin(a-b)+\sin(b)\sin(b-c)+\sin(c)\sin(c-a) \geq 0 ?$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 12:06 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL писал(а):
$a, b, c$ -- внутренние углы треугольника.
$\sin(a)\sin(a-b)+\sin(b)\sin(b-c)+\sin(c)\sin(c-a) \geq 0 ?$

По-моему, это неверно. Попробуйте $a=3^{\circ},$ $b=176^{\circ}$ и $c=1^{\circ}.$ :wink:

TOTAL
Ваша задача напомнила мне следующую простенькую:

найдите все натуральные $n,$ при которых неравенство
$a(a-b)^n+b(b-c)^n+c(c-a)^n \geq 0 $
выполняется для всех действительных $a,$ $b$ и $c$

и вот эту:

найдите все натуральные $n,$ при которых неравенство
$a(a+b)^n+b(b+c)^n+c(c+a)^n \geq 0 $
выполняется для всех действительных $a,$ $b$ и $c,$

которая поинтереснее будет. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
arqady писал(а):
TOTAL писал(а):
$a, b, c$ -- внутренние углы треугольника.
$\sin(a)\sin(a-b)+\sin(b)\sin(b-c)+\sin(c)\sin(c-a) \geq 0 ?$

По-моему, это неверно. Попробуйте $a=3^{\circ},$ $b=176^{\circ}$ и $c=1^{\circ}.$ :wink:


Да, это неверно. Теперь я понимаю, почему в соседней задаче про треугольник я смог доказать это (эквивалентное) неравенство только для остроругольного треугольника.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 19:51 


10/03/07
59
Казань
To arcady.
Да, на указанном Вами сайте прошла интересная дискуссия. Правда, я не понял, что это за такая «EV-Theorem», которая там, похоже, известна каждому?
Кажется, что из первой части задачки обобщения не получится?
P.S. Я было принял Ваш ник за имя, оказалось, что это не так. Вы по-прежнему в Шевах-Мофет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2007, 00:55 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер писал(а):
Правда, я не понял, что это за такая «EV-Theorem», которая там, похоже, известна каждому?

Вот здесь она.
Честно скажу, не люблю падающие с неба теоремы.
Скорцонер писал(а):
Вы по-прежнему в Шевах-Мофет?

Wow! Откуда вы знаете? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 401 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 27  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group