Фактор группа, векторы.

[qwerty_929]

Дано:
$G$ - трехкомпонентные векторы с операцией сложения
$H$ - векторы сумма компонент которых равна 0
Задание:
1.Описать классы фактор группы $G/H$ и операцию в ней
2.Описать гомоморфизм группы $G $ на фактор группу $ G/H$
3.Какой группе изоморфны фактор группа $G/H$
Пытаюсь разобраться как делать:
1. по формуле $G/H = \{g + H \mid g\in G\}$ и получается что класс будет единственный когда три компоненты дают ноль, как это нормально записать? И вообще что-то не так явно...Ведь когда делаем с $Z/2Z$ (для примера) то берем просто смежные классы и все (а именно $ 2Z$ и $1+2Z$) ну и описать таблицей операцию, а вот как в моем задание?
2.Определение Отображение $\varphi$ группы $G$ в группу $S$ называется гомоморфным , или гомоморфизмом , если $\varphi ( ab ) $= \varphi ( a ) \varphi ( b ), \mathcal {8} a, b \in G $.
Решение. Так как у нас векторы и задана операция сложения то значит в формуле должно быть вместо умножения - сложение. Но что нужно с делать с трехкомпонетным вектором чтоб сумма компонент стала равна нулю, ведь в фактор группе сумма компонент должна стать равно нулю
3. -
Всегда рассматривали примеры лишь из $ Z,2Z,3Z$ и тому подобные, а тут вообще никак

[arseniiv]

qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):

и получается что класс будет единственный когда три компоненты дают ноль

Почему единственный? $H$ — подпространство, $\vec g+H$ — линейное многообразие (не забывайте, что векторное пространство — группа по сложению; надеюсь, вы не пытались умножать векторы).

Теперь ещё раз расскажите, как выглядят те смежные классы и сколько их.

P. S. Набор формул:

qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):

$G/H$={gH |g \in G}.$

1. Окружайте долларамиформулу целиком, всего один слева и один справа.
2. Фигурные скобки используются в языке $\TeX$, так что для того чтобы их отобразить, надо писать \{ и \}.
3. Как правило, в обозначении множества у вертикальной черты нужны небольшие отступы. Есть уже готовая черта с отступами \mid.
Итого: $G/H = \{g + H \mid g\in G\}$

$$G/H = \{g + H \mid g\in G\}.$$

Согласитесь, яснее выглядит.

[provincialka]

Запишите условие того, что два вектора принадлежат одному классу эквивалентности.

-- 17.01.2014, 23:49 --

qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):

ведь в фактор группе сумма компонент должна стать равно нулю

Разве?

[qwerty_929]

arseniiv в сообщении #815839 писал(а):

qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):

и получается что класс будет единственный когда три компоненты дают ноль

Почему единственный? $H$ — подпространство, $\vec g+H$ — линейное многообразие (не забывайте, что векторное пространство — группа по сложению; надеюсь, вы не пытались умножать векторы).

Попутал,Ведь мы должны к векторам из $H$ прибавить такой вектор из $G$ чтоб этот итоговый вектор принадлежал $G$
т.е.$ \vec{g}+H=\{g+h \mid h\in H\}\subseteq G$, но получается, что таких смежных классов много. Ведь нам уже не обязательно чтоб сумма компонент стала равной нулю. Я подумал и получил, что $\vec{g}$ может иметь лишь такие виды:
$(a,b,c)$
$(a,b,b)$
$(a,a,b)$
$(a,b,a)$
$(a,a,a)$
Или я опять все путаю? Совсем не могу разобраться с векторами
Векторы умножать,разумеется, не пытался...

provincialka в сообщении #815863 писал(а):

Запишите условие того, что два вектора принадлежат одному классу эквивалентности.

-- 17.01.2014, 23:49 --

qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):

ведь в фактор группе сумма компонент должна стать равно нулю

Разве?

Векторы не должны пересекаться, т.е должны быть параллельными, т.е. векторное произведение должно быть равно нулю
А про сумма компонент, уже разобрался, не должна быть равной нулю

[arseniiv]

qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):

Я подумал и получил, что $\vec{g}$ может иметь лишь такой вид

Почему он не может быть любым? В определении смежного класса нет никаких ограничений на $\vec g$!

Ещё раз предлагаю посмотреть, что представляет собой $\vec g + H$. Возьмите несколько конкретных примеров. Допустим, $\vec g = (0, 0, 0)$ и, уже второй пример, $\vec g = (1, 2, -1)$. И потом ещё $\vec g = (-2, 1, 1)$.

[provincialka]

qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):

Векторы не должны пересекаться, т.е должны быть параллельными, т.е. векторное произведение должно быть равно нулю
А про сумма компонент, уже разобрался, не должна быть равной нулю

Извините, но тут путаница в каждой фразе. У вас векторы не геометрические. это просто тройки чисел. И как они могут "пересекаться"? Впрочем, геометрические векторы тоже этого не умеют.
А для чего "векторы должны быть параллельными"? Какие именно? Векторное произведение тут тоже ни при чем. И опять же, у каких векторов сумма компонент не должна быть равной 0? И почему?

Давайте постепенно. Какое определение фактор-группы вы используете?

[qwerty_929]

arseniiv в сообщении #815872 писал(а):

qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):

Я подумал и получил, что $\vec{g}$ может иметь лишь такой вид

Почему он не может быть любым? В определении смежного класса нет никаких ограничений на $\vec g$!

Ещё раз предлагаю посмотреть, что представляет собой $\vec g + H$. Возьмите несколько конкретных примеров. Допустим, $\vec g = (0, 0, 0)$ и, уже второй пример, $\vec g = (1, 2, -1)$. И потом ещё $\vec g = (-2, 1, 1)$.

Так я вроде и описал любой вид $ \vec g$, ведь каждый представленный Вами вектор будет давать смежный класс одного из описанного мной вида.
То есть получается, что в ответ достаточно написать,что класс фактор группы имеет вид $\vec g+H$ где $ \vec g$ любой вектор из $G$

provincialka в сообщении #815875 писал(а):

qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):

Векторы не должны пересекаться, т.е должны быть параллельными, т.е. векторное произведение должно быть равно нулю
А про сумма компонент, уже разобрался, не должна быть равной нулю

Извините, но тут путаница в каждой фразе. У вас векторы не геометрические. это просто тройки чисел. И как они могут "пересекаться"? Впрочем, геометрические векторы тоже этого не умеют.
А для чего "векторы должны быть параллельными"? Какие именно? Векторное произведение тут тоже ни при чем. И опять же, у каких векторов сумма компонент не должна быть равной 0? И почему?

Давайте постепенно. Какое определение фактор-группы вы используете?

Использую, что давали на лекциях:
Если H - нормальный делитель группы G, то множество смежных классов образует группу и она называется фактор группа (G/H.

[arseniiv]

У вас в первом задании написано «описать классы фактор-группы и операцию в ней».

qwerty_929 в сообщении #815877 писал(а):

То есть получается, что в ответ достаточно написать,что класс фактор группы имеет вид $\vec g+H$ где $ \vec g$ любой вектор из $G$

Это же определение. Тут спрашивается, как выглядят классы в данном случае, а не вообще чем являются.

Я вам привёл три вектора $\vec g$. Какие конкретно классы $\vec g + H$ этим трём соответствуют? Задайте их как-нибудь. Например, координаты их элементов опишите. (Сначала можете описать координаты векторов из $H$.)

А потом ещё операцию надо описать, иначе никакой группы не получится, просто голое множество.

[qwerty_929]

arseniiv в сообщении #815878 писал(а):

У вас в первом задании написано «описать классы фактор-группы и операцию в ней».

qwerty_929 в сообщении #815877 писал(а):

То есть получается, что в ответ достаточно написать,что класс фактор группы имеет вид $\vec g+H$ где $ \vec g$ любой вектор из $G$

Это же определение. Тут спрашивается, как выглядят классы в данном случае, а не вообще чем являются.

Я вам привёл три вектора $\vec g$. Какие конкретно классы $\vec g + H$ этим трём соответствуют? Задайте их как-нибудь. Например, координаты их элементов опишите. (Сначала можете описать координаты векторов из $H$.)

А потом ещё операцию надо описать, иначе никакой группы не получится, просто голое множество.

Я не понимаю...
По классам смежным проходили примеры с $Z$,где все эти смежные классы описывались видом $a+nZ; a=\overline{1..n}$,
а операцию простым сложением по модулю $n$
Единственное предположение... $H = (a, d, c)$ где $a+b+c=0$ тогда для $\vec g$ равного нулевому смежный класс будет просто $(a,b,c)$
для второго $(1+a,2+b,-1+c) $ ну и для третьего $(-2+a,1+b,1+c)$

[arseniiv]

Извиняюсь, непонятно написал. Напишите параметрическое уравнение $H$, и для тех классов тоже. Чтобы проще было увидеть. И не забывайте, что трёхмерное пространство можно иногда наглядно попредставлять.

-- Сб янв 18, 2014 03:16:04 --

Если я вам скажу, что какие-то два из тех трёх классов совпадают, как вам было бы проще их описать, чтобы понять, какие?

[provincialka]

qwerty_929, неправильно вы рассуждаете, неудобно. Вот, пусть $h = (a,b,c)$ - произвольный вектор из $H$, т.е. $a+b+c=0$. Выберем какой-нибудь вектор $u=(x_1,y_1,z_1)$. Тогда тому же классу, что и $u$, будут принадлежать все вектора $v=(x,y,z)$ такие, что $v=u+h$ при подходящем $h$. То есть $u$ мы фиксируем, а $h$ меняем с сохранением условия.

Так вот. Теперь выразите из этого равенства $h$ и наложите на его компоненты это самое условие! И будет вам счастье!
arseniiv, а при чем тут трехмерность? Как она помогает? По-моему, только мешает, появляются разные "векторные произведения".
Чтобы по хорошему применить геометрическую интерпретацию, надо рассматривать аффинное пространство, присоединенное к данному векторному. Морока...

[arseniiv]

provincialka в сообщении #815917 писал(а):

arseniiv, а при чем тут трехмерность? Как она помогает? По-моему, только мешает, появляются разные "векторные произведения".

А ещё появляются плоскости.

provincialka в сообщении #815917 писал(а):

Чтобы по хорошему применить геометрическую интерпретацию, надо рассматривать аффинное пространство, присоединенное к данному векторному. Морока...

У нас на линейной алгебре все всё понимали без него, ведь векторное само себе и аффинное тоже! Первое, конечно, не обязательно, зато второе точно. Просто не забываем рисовать точку $\vec0$.

Может, я и зря с параметрическим заданием. Но если qwerty_929 найдёт и его, и ваши предложения проделает, будет понимание ещё полнее.

[iifat]

provincialka в сообщении #815917 писал(а):

при чем тут трехмерность? Как она помогает?

Ну, помогаем представить, имхо. Всё ж мы в ней живём.
qwerty_929 что есть ваше $H$? В обычнейшем трёхмерном пространстве? Тогда элементу $g$ соответствует класс $g+H$ — параллельный перенос замечаете?

[qwerty_929]

arseniiv в сообщении #815915 писал(а):

Извиняюсь, непонятно написал. Напишите параметрическое уравнение $H$, и для тех классов тоже. Чтобы проще было увидеть. И не забывайте, что трёхмерное пространство можно иногда наглядно попредставлять.

-- Сб янв 18, 2014 03:16:04 --

Если я вам скажу, что какие-то два из тех трёх классов совпадают, как вам было бы проще их описать, чтобы понять, какие?

если правильно понял, то $H =(x+at,y+bt,z+ct)$, c условием $ x+at+y+bt+z+ct=0$ то есть $(x+y+z)+(at+bt+ct)=0$
$(1+x+at,2+y+bt,-1+z+ct) $ ну и для третьего $(-2+x+at,1+y+bt,1+z+ct)$, но я быстрее всего ошибаюсь и вектора $\vec g$ надо подставлять в периметрическое уравнение вместо чего-то...Просто чувствую что первый и последний совпадают, но как это показать...

provincialka в сообщении #815917 писал(а):

qwerty_929, неправильно вы рассуждаете, неудобно. Вот, пусть $h = (a,b,c)$ - произвольный вектор из $H$, т.е. $a+b+c=0$. Выберем какой-нибудь вектор $u=(x_1,y_1,z_1)$. Тогда тому же классу, что и $u$, будут принадлежать все вектора $v=(x,y,z)$ такие, что $v=u+h$ при подходящем $h$. То есть $u$ мы фиксируем, а $h$ меняем с сохранением условия.

Так вот. Теперь выразите из этого равенства $h$ и наложите на его компоненты это самое условие! И будет вам счастье!

$h=v-u$ такие что$ (x-x_1+y-y_1+z-z_1)=0$ или же $( x+y+z)-(x_1+y_1+z_1)=0 $?а вот эти $x_1 y_1 z_1$ это $ \vec g$?
А $u+h$ это сам наш класс,$v$ - это множество значений это класса? Но зачем выражать?

iifat в сообщении #815945 писал(а):

provincialka в сообщении #815917 писал(а):

при чем тут трехмерность? Как она помогает?

Ну, помогаем представить, имхо. Всё ж мы в неё живём.
qwerty_929 что есть ваше $H$? В обычнейшем трёхмерном пространстве? Тогда элементу $g$ соответствует класс $g+H$ — параллельный перенос замечаете?

К сожалению, у меня огромнейшие трудности с геометрией...

(Оффтоп)

Препод пытался объяснять про три плоскости, про какое то там отбражения одного вектора на плоскости, удалось понять лишь частично и то после 20 минут объяснений и разжевываний...

Для меня мое $H$ - это некий вектор(возможно плоскость), $g+H$ - для меня наоборот новый вектор(или некая плоскость),то есть если сложить, должно что то получиться, но про параллельность ничего сказать не могу...

(Оффтоп)

Лекции понимаю и осмысливаю крайне долго, хорошо усваиваю практику, а практика дается наподобие Z...
Полтора часа пишу ответ с попыткой вникнуть и понять все это, вообще никак...

[svv]

Можно и мне внести немного хаоса?

Пусть $S(g)$ — сумма компонент вектора $g$.
Тогда $h\in H$, если $S(h)=0$.
Эквивалентность: $g_1\,{\sim}\,g_2$, если $g_1-g_2\in H$.
Но так как $S(a\pm b)=S(a)\pm S(b)$, то $g_1\,{\sim}\,g_2$, если $S(g_1)=S(g_2)$.
Два вектора эквивалентны iff у них одна и та же сумма компонент.
Каждому классу эквивалентности однозначно соответствует число — сумма компонент входящих в него векторов.
Раз так, понятно, что такое сумма двух элементов факторпространства, т.е. классов эквивалентности, и, аналогично, что такое обратный элемент.