Фактор группа, векторы.

[qwerty_929]

provincialka в сообщении #816195 писал(а):

А мне казалось, что я в http://dxdy.ru/post816123.html#p816123 дала ответ. Разве нет?

А я вроде тоже самое написал....видимо у меня настолько все плохо с этим....

[provincialka]

Да, несколько косноязычно.

[qwerty_929]

provincialka в сообщении #816206 писал(а):

Да, несколько косноязычно.

Но хоть правильно...А операция будет сложением этих С
Второе и третье задание так же не понимаю...

[provincialka]

qwerty_929, так я же в том посте на все три вопроса ответила!

[qwerty_929]

provincialka в сообщении #816123 писал(а):

Ясно, что "таблицей" сумму не запишешь. А зачем? Каждый класс характеризуется числом, а именно, суммой своих компонент. Можно в некотором смысле (в смысле изоморфизма) считать, что классы это и есть числа.
Для первого пункта, действительно, удобно было бы воспользоваться геометрической интерпретацией. Но можно и алгебраически записать. В один класс $H_g$ входят все векторы $v=(x,y,z)$ такие, что $x+y+z=C$, где $C$ - константа. Геометрически эти классы - плоскости, параллельные плоскости $x+y+z=0$, изображающей подгруппу $H$.

1. классы это число, которое получается суммой своих компонент.
2.В $H_g$ входят все векторы $v=(x,y,z)$ такие, что $x+y+z=C$, где $C$ - константа.
3.Классы изоморфны числам

(Оффтоп)

Ну не понимаю я все это никак...ну вообще...блин...мы про гомоморфизм вообще чисто на лекциях, даже без примеров... а тут "сделайте все"...

[provincialka]

Хм... Ну где-то... А можно так:
1. Классами смежности будут плоскости, заданные уравнениями $x+y+z=C$. Сложение классов соответствует сложению констант.
2. Каждому вектору $(x,y,z)$ ставится в соответствие класс с константой, равной $x+y+z$.
3. Фактор-группа изоморфна группе вещественных чисел по сложению.

[svv]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #816123 писал(а):

Может, вы друг друга даже лучше поймете!

Вряд ли.

Физика можно распознать по тому, что он в этом задании будет стремиться рассматривать более богатую алгебраическую структуру (линейное пространство), чем требуется (но зато более привычную). А здесь ведь векторы — это и не векторы, а так, одно название.

Так вот, за ТС я этого не заметил. Чисто групповой подход. Я бы сказал, в этом смысле Вы с arseniiv здесь показали себя даже более физиками, чем он.

[qwerty_929]

provincialka в сообщении #816217 писал(а):

Хм... Ну где-то... А можно так:
1. Классами смежности будут плоскости, заданные уравнениями $x+y+z=C$. Сложение классов соответствует сложению констант.
2. Каждому вектору $(x,y,z)$ ставится в соответствие класс с константой, равной $x+y+z$.
3. Фактор-группа изоморфна группе вещественных чисел по сложению.

Спасибо Вам огромное!
Да и всем кто помогал в решение задачи,огромное спасибо.

[arseniiv]

(2 svv.)

svv в сообщении #816226 писал(а):

Физика можно распознать по тому, что он в этом задании будет стремиться рассматривать более богатую алгебраическую структуру (линейное пространство), чем требуется (но зато более привычную).

Да ладно, вы же умножение на скаляр не использовали. (А компоненты тут есть с самого начала.) Вот и осталась от векторного пространства одна группа.

Если не использовать эту специфическую структуру — наличие трёх компонентных функций — то и задачу-то не решить! Без неё не определить ни $H$, ни $G/H$ (кроме как переписав определения, чего вряд ли спрашивали). Или я упускаю какую-то категорную магию.

[svv]

arseniiv

Есть ещё один интересный для меня вопрос, и вроде не оффтопный.
В задаче не было сказано, каково множество $K$ значений, которые могут принимать компоненты векторов. Про себя я представлял $\mathbb R$. Но другие варианты, например, $\mathbb C$, тоже возможны.

Если бы у нас было векторное пространство, $K$ должно было бы быть полем. Но здесь чистая теория групп. Как Вы считаете, может ли в данной задаче $K$ быть произвольной абелевой группой $(K, +)$? Например, чтобы выбрать далекий от привычных векторов случай, циклической группой? Тогда бы группа наших векторов с операцией сложения получалась как прямое произведение $G=K\times K\times K$. Не видно ли препятствий?

[provincialka]

svv в сообщении #816336 писал(а):

Не видно ли препятствий

Хм, вроде мы нигде структуру "одномерной" группы не использовали. Но, конечно, фактор группа будет изоморфна $G$.

[svv]

Спасибо. Для меня возможность использовать здесь даже циклическую группу — это круто.

[iifat]

provincialka в сообщении #816341 писал(а):

фактор группа будет изоморфна $G$

$K$ имелось в виду, конечно.

[provincialka]

Да.