2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 21:12 


17/01/14
36
Дано:
$G$ - трехкомпонентные векторы с операцией сложения
$H$ - векторы сумма компонент которых равна 0
Задание:
1.Описать классы фактор группы $G/H$ и операцию в ней
2.Описать гомоморфизм группы $G $ на фактор группу $ G/H$
3.Какой группе изоморфны фактор группа $G/H$
Пытаюсь разобраться как делать:
1. по формуле $G/H = \{g + H \mid g\in G\}$ и получается что класс будет единственный когда три компоненты дают ноль, как это нормально записать? И вообще что-то не так явно...Ведь когда делаем с $Z/2Z$ (для примера) то берем просто смежные классы и все (а именно $ 2Z$ и $1+2Z$) ну и описать таблицей операцию, а вот как в моем задание?
2.Определение Отображение $\varphi$ группы $G$ в группу $S$ называется гомоморфным , или гомоморфизмом , если $\varphi ( ab ) $= \varphi ( a ) \varphi ( b ), \mathcal {8} a, b \in  G $.
Решение. Так как у нас векторы и задана операция сложения то значит в формуле должно быть вместо умножения - сложение. Но что нужно с делать с трехкомпонетным вектором чтоб сумма компонент стала равна нулю, ведь в фактор группе сумма компонент должна стать равно нулю
3. -
Всегда рассматривали примеры лишь из $ Z,2Z,3Z$ и тому подобные, а тут вообще никак

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 21:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):
и получается что класс будет единственный когда три компоненты дают ноль
Почему единственный? $H$ — подпространство, $\vec g+H$ — линейное многообразие (не забывайте, что векторное пространство — группа по сложению; надеюсь, вы не пытались умножать векторы).

Теперь ещё раз расскажите, как выглядят те смежные классы и сколько их.

P. S. Набор формул:
qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):
$G/H$={gH |g \in G}.$
1. Окружайте долларамиформулу целиком, всего один слева и один справа.
2. Фигурные скобки используются в языке $\TeX$, так что для того чтобы их отобразить, надо писать \{ и \}.
3. Как правило, в обозначении множества у вертикальной черты нужны небольшие отступы. Есть уже готовая черта с отступами \mid.
Итого: $G/H = \{g + H \mid g\in G\}$$$G/H = \{g + H \mid g\in G\}.$$Согласитесь, яснее выглядит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Запишите условие того, что два вектора принадлежат одному классу эквивалентности.

-- 17.01.2014, 23:49 --

qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):
ведь в фактор группе сумма компонент должна стать равно нулю
Разве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 22:57 


17/01/14
36
arseniiv в сообщении #815839 писал(а):
qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):
и получается что класс будет единственный когда три компоненты дают ноль
Почему единственный? $H$ — подпространство, $\vec g+H$ — линейное многообразие (не забывайте, что векторное пространство — группа по сложению; надеюсь, вы не пытались умножать векторы).

Попутал,Ведь мы должны к векторам из $H$ прибавить такой вектор из $G$ чтоб этот итоговый вектор принадлежал $G$
т.е.$ \vec{g}+H=\{g+h \mid h\in H\}\subseteq G$, но получается, что таких смежных классов много. Ведь нам уже не обязательно чтоб сумма компонент стала равной нулю. Я подумал и получил, что $\vec{g}$ может иметь лишь такие виды:
$(a,b,c)$
$(a,b,b)$
$(a,a,b)$
$(a,b,a)$
$(a,a,a)$
Или я опять все путаю? Совсем не могу разобраться с векторами
Векторы умножать,разумеется, не пытался...
provincialka в сообщении #815863 писал(а):
Запишите условие того, что два вектора принадлежат одному классу эквивалентности.

-- 17.01.2014, 23:49 --

qwerty_929 в сообщении #815821 писал(а):
ведь в фактор группе сумма компонент должна стать равно нулю
Разве?

Векторы не должны пересекаться, т.е должны быть параллельными, т.е. векторное произведение должно быть равно нулю
А про сумма компонент, уже разобрался, не должна быть равной нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 23:03 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):
Я подумал и получил, что $\vec{g}$ может иметь лишь такой вид
Почему он не может быть любым? В определении смежного класса нет никаких ограничений на $\vec g$!

Ещё раз предлагаю посмотреть, что представляет собой $\vec g + H$. Возьмите несколько конкретных примеров. Допустим, $\vec g = (0, 0, 0)$ и, уже второй пример, $\vec g = (1, 2, -1)$. И потом ещё $\vec g = (-2, 1, 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):
Векторы не должны пересекаться, т.е должны быть параллельными, т.е. векторное произведение должно быть равно нулю
А про сумма компонент, уже разобрался, не должна быть равной нулю
Извините, но тут путаница в каждой фразе. У вас векторы не геометрические. это просто тройки чисел. И как они могут "пересекаться"? Впрочем, геометрические векторы тоже этого не умеют.
А для чего "векторы должны быть параллельными"? Какие именно? Векторное произведение тут тоже ни при чем. И опять же, у каких векторов сумма компонент не должна быть равной 0? И почему?

Давайте постепенно. Какое определение фактор-группы вы используете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 23:11 


17/01/14
36
arseniiv в сообщении #815872 писал(а):
qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):
Я подумал и получил, что $\vec{g}$ может иметь лишь такой вид
Почему он не может быть любым? В определении смежного класса нет никаких ограничений на $\vec g$!

Ещё раз предлагаю посмотреть, что представляет собой $\vec g + H$. Возьмите несколько конкретных примеров. Допустим, $\vec g = (0, 0, 0)$ и, уже второй пример, $\vec g = (1, 2, -1)$. И потом ещё $\vec g = (-2, 1, 1)$.

Так я вроде и описал любой вид $ \vec g$, ведь каждый представленный Вами вектор будет давать смежный класс одного из описанного мной вида.
То есть получается, что в ответ достаточно написать,что класс фактор группы имеет вид $\vec g+H$ где $ \vec g$ любой вектор из $G$
provincialka в сообщении #815875 писал(а):
qwerty_929 в сообщении #815867 писал(а):
Векторы не должны пересекаться, т.е должны быть параллельными, т.е. векторное произведение должно быть равно нулю
А про сумма компонент, уже разобрался, не должна быть равной нулю
Извините, но тут путаница в каждой фразе. У вас векторы не геометрические. это просто тройки чисел. И как они могут "пересекаться"? Впрочем, геометрические векторы тоже этого не умеют.
А для чего "векторы должны быть параллельными"? Какие именно? Векторное произведение тут тоже ни при чем. И опять же, у каких векторов сумма компонент не должна быть равной 0? И почему?

Давайте постепенно. Какое определение фактор-группы вы используете?

Использую, что давали на лекциях:
Если H - нормальный делитель группы G, то множество смежных классов образует группу и она называется фактор группа (G/H.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 23:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
У вас в первом задании написано «описать классы фактор-группы и операцию в ней».

qwerty_929 в сообщении #815877 писал(а):
То есть получается, что в ответ достаточно написать,что класс фактор группы имеет вид $\vec g+H$ где $ \vec g$ любой вектор из $G$
Это же определение. Тут спрашивается, как выглядят классы в данном случае, а не вообще чем являются.

Я вам привёл три вектора $\vec g$. Какие конкретно классы $\vec g + H$ этим трём соответствуют? Задайте их как-нибудь. Например, координаты их элементов опишите. (Сначала можете описать координаты векторов из $H$.)

А потом ещё операцию надо описать, иначе никакой группы не получится, просто голое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение17.01.2014, 23:59 


17/01/14
36
arseniiv в сообщении #815878 писал(а):
У вас в первом задании написано «описать классы фактор-группы и операцию в ней».

qwerty_929 в сообщении #815877 писал(а):
То есть получается, что в ответ достаточно написать,что класс фактор группы имеет вид $\vec g+H$ где $ \vec g$ любой вектор из $G$
Это же определение. Тут спрашивается, как выглядят классы в данном случае, а не вообще чем являются.

Я вам привёл три вектора $\vec g$. Какие конкретно классы $\vec g + H$ этим трём соответствуют? Задайте их как-нибудь. Например, координаты их элементов опишите. (Сначала можете описать координаты векторов из $H$.)

А потом ещё операцию надо описать, иначе никакой группы не получится, просто голое множество.

Я не понимаю...
По классам смежным проходили примеры с $Z$,где все эти смежные классы описывались видом $a+nZ; a=\overline{1..n}$,
а операцию простым сложением по модулю $n$
Единственное предположение... $H = (a, d, c)$ где $a+b+c=0$ тогда для $\vec g$ равного нулевому смежный класс будет просто $(a,b,c)$
для второго $(1+a,2+b,-1+c) $ ну и для третьего $(-2+a,1+b,1+c)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение18.01.2014, 00:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Извиняюсь, непонятно написал. Напишите параметрическое уравнение $H$, и для тех классов тоже. Чтобы проще было увидеть. И не забывайте, что трёхмерное пространство можно иногда наглядно попредставлять.

-- Сб янв 18, 2014 03:16:04 --

Если я вам скажу, что какие-то два из тех трёх классов совпадают, как вам было бы проще их описать, чтобы понять, какие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение18.01.2014, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
qwerty_929, неправильно вы рассуждаете, неудобно. Вот, пусть $h = (a,b,c)$ - произвольный вектор из $H$, т.е. $a+b+c=0$. Выберем какой-нибудь вектор $u=(x_1,y_1,z_1)$. Тогда тому же классу, что и $u$, будут принадлежать все вектора $v=(x,y,z)$ такие, что $v=u+h$ при подходящем $h$. То есть $u$ мы фиксируем, а $h$ меняем с сохранением условия.

Так вот. Теперь выразите из этого равенства $h$ и наложите на его компоненты это самое условие! И будет вам счастье!
arseniiv, а при чем тут трехмерность? Как она помогает? По-моему, только мешает, появляются разные "векторные произведения".
Чтобы по хорошему применить геометрическую интерпретацию, надо рассматривать аффинное пространство, присоединенное к данному векторному. Морока...

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение18.01.2014, 00:27 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
provincialka в сообщении #815917 писал(а):
arseniiv, а при чем тут трехмерность? Как она помогает? По-моему, только мешает, появляются разные "векторные произведения".
А ещё появляются плоскости.

provincialka в сообщении #815917 писал(а):
Чтобы по хорошему применить геометрическую интерпретацию, надо рассматривать аффинное пространство, присоединенное к данному векторному. Морока...
У нас на линейной алгебре все всё понимали без него, ведь векторное само себе и аффинное тоже! Первое, конечно, не обязательно, зато второе точно. Просто не забываем рисовать точку $\vec0$.

Может, я и зря с параметрическим заданием. Но если qwerty_929 найдёт и его, и ваши предложения проделает, будет понимание ещё полнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение18.01.2014, 01:50 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
provincialka в сообщении #815917 писал(а):
при чем тут трехмерность? Как она помогает?
Ну, помогаем представить, имхо. Всё ж мы в ней живём.
qwerty_929 что есть ваше $H$? В обычнейшем трёхмерном пространстве? Тогда элементу $g$ соответствует класс $g+H$ — параллельный перенос замечаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение18.01.2014, 02:09 


17/01/14
36
arseniiv в сообщении #815915 писал(а):
Извиняюсь, непонятно написал. Напишите параметрическое уравнение $H$, и для тех классов тоже. Чтобы проще было увидеть. И не забывайте, что трёхмерное пространство можно иногда наглядно попредставлять.

-- Сб янв 18, 2014 03:16:04 --

Если я вам скажу, что какие-то два из тех трёх классов совпадают, как вам было бы проще их описать, чтобы понять, какие?

если правильно понял, то $H =(x+at,y+bt,z+ct)$, c условием $ x+at+y+bt+z+ct=0$ то есть $(x+y+z)+(at+bt+ct)=0$
$(1+x+at,2+y+bt,-1+z+ct) $ ну и для третьего $(-2+x+at,1+y+bt,1+z+ct)$, но я быстрее всего ошибаюсь и вектора $\vec g$ надо подставлять в периметрическое уравнение вместо чего-то...Просто чувствую что первый и последний совпадают, но как это показать...

provincialka в сообщении #815917 писал(а):
qwerty_929, неправильно вы рассуждаете, неудобно. Вот, пусть $h = (a,b,c)$ - произвольный вектор из $H$, т.е. $a+b+c=0$. Выберем какой-нибудь вектор $u=(x_1,y_1,z_1)$. Тогда тому же классу, что и $u$, будут принадлежать все вектора $v=(x,y,z)$ такие, что $v=u+h$ при подходящем $h$. То есть $u$ мы фиксируем, а $h$ меняем с сохранением условия.

Так вот. Теперь выразите из этого равенства $h$ и наложите на его компоненты это самое условие! И будет вам счастье!

$h=v-u$ такие что$ (x-x_1+y-y_1+z-z_1)=0$ или же $( x+y+z)-(x_1+y_1+z_1)=0 $?а вот эти $x_1 y_1 z_1$ это $ \vec g$?
А $u+h$ это сам наш класс,$v$ - это множество значений это класса? Но зачем выражать?
iifat в сообщении #815945 писал(а):
provincialka в сообщении #815917 писал(а):
при чем тут трехмерность? Как она помогает?
Ну, помогаем представить, имхо. Всё ж мы в неё живём.
qwerty_929 что есть ваше $H$? В обычнейшем трёхмерном пространстве? Тогда элементу $g$ соответствует класс $g+H$ — параллельный перенос замечаете?

К сожалению, у меня огромнейшие трудности с геометрией...

(Оффтоп)

Препод пытался объяснять про три плоскости, про какое то там отбражения одного вектора на плоскости, удалось понять лишь частично и то после 20 минут объяснений и разжевываний...

Для меня мое $H$ - это некий вектор(возможно плоскость), $g+H$ - для меня наоборот новый вектор(или некая плоскость),то есть если сложить, должно что то получиться, но про параллельность ничего сказать не могу...

(Оффтоп)

Лекции понимаю и осмысливаю крайне долго, хорошо усваиваю практику, а практика дается наподобие Z...
Полтора часа пишу ответ с попыткой вникнуть и понять все это, вообще никак...

 Профиль  
                  
 
 Re: Фактор группа, векторы.
Сообщение18.01.2014, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Можно и мне внести немного хаоса?

Пусть $S(g)$ — сумма компонент вектора $g$.
Тогда $h\in H$, если $S(h)=0$.
Эквивалентность: $g_1\,{\sim}\,g_2$, если $g_1-g_2\in H$.
Но так как $S(a\pm b)=S(a)\pm S(b)$, то $g_1\,{\sim}\,g_2$, если $S(g_1)=S(g_2)$.
Два вектора эквивалентны iff у них одна и та же сумма компонент.
Каждому классу эквивалентности однозначно соответствует число — сумма компонент входящих в него векторов.
Раз так, понятно, что такое сумма двух элементов факторпространства, т.е. классов эквивалентности, и, аналогично, что такое обратный элемент.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group