Уравнение движения в неявном виде

[Seergey]

Пусть задано уравнение движения мат точки $ y=2x^2 $.

Можно ли из этого уравнения получить однозначно уравнение в виде $ \overrightarrow{r}(t)= \overrightarrow {e}_{1}x(t)+ \overrightarrow{e}_{2}y(t) $, где $ \overrightarrow{e}_{1} $ и $ \overrightarrow{e}_{2} $ постоянные единичные орты декартовой СК?

[photon]

Seergey в сообщении #815255 писал(а):

$ \overrightarrow{r}(t)= \overrightarrow {e}_{1}x+ \overrightarrow{e}_{2}y $

Слева функция времени, справа - нет. Меня это несколько смущает

-- Thu Jan 16, 2014 17:56:14 --

Seergey в сообщении #815255 писал(а):

Пусть задано уравнение движения мат точки $ y=2x^2 $.

Может я заблуждаюсь, но мне казалось, что уравнение движения подразумевает зависимость от времени, или $x$ - функция $t$?

[Seergey]

$x(t) $ и $y(t)$

Если например $x(t)=2t$, а $y=8t^2$, то уравнение движения - парабола $y=2x^2$

А вот если наоборот, известно только $y=2x^2$ можно ли найти $r(t)$?

[Aritaborian]

А что мешает взять $t=x$?

[photon]

а сами подумайте: первое уравнение определяет координаты, линию, вдоль которой движется точка, но не зависимость от времени. Точка может двигаться быстрее, медленнее, ускоряясь, замедляясь, меняя направление на противоположное - ничто из этого не отражено в первом уравнении, откуда этой информации взяться в $r(t)$?

[Seergey]

Да вот я тоже думаю. Получается однозначно нельзя выразить?
То есть в первом случае t можно исключить а вот обратно вернуть уже не получиться. Какой тогда смысл в уравнении вида $y=2x^2$

[Aritaborian]

То, что предложил я, самое простое. Но вы, photon, безусловно правы: информации недостаточно. Однако, кто ж знает, что имел в виду преподаватель.

[Oleg Zubelevich]

Seergey в сообщении #815255 писал(а):

Пусть задано уравнение движения мат точки $ y=2x^2 $.

это не уравнение движения,это траектория

Seergey в сообщении #815255 писал(а):

Можно ли из этого уравнения получить однозначно уравнение в виде $ \overrightarrow{r}(t)= \overrightarrow {e}_{1}x(t)+ \overrightarrow{e}_{2}y(t) $, где $ \overrightarrow{e}_{1} $ и $ \overrightarrow{e}_{2} $ п

нет

[Seergey]

Понятно. Ещё один вопрос. Движение точки на плоскости можно задать полярными координатами $r$ и $\phi$.
Тогда при задании координат точки как выбирают орты? Орты должны быть фиксированы или они вращаются с угловой скоростью? Или они и вращаются и ещё и сдвигаются вдоль r?

[Oleg Zubelevich]

что такое орты? в полярной системе координат, как и в любой системе координат на многообразии, в каждой точке определены базисные векторы касательного пространства $\partial_r,\partial_{\varphi}$, они касаются координатных кривых. Их можно выбрать равными 1 по модулю.

[Seergey]

Oleg Zubelevich в сообщении #815296 писал(а):

что такое орты? в полярной системе координат, как и в любой системе координат на многообразии, в каждой точке определены базисные векторы касательного пространства $\partial_r,\partial_{\varphi}$

Векторы $\partial_r,\partial_{\varphi}$ фиксированы или изменяются со временем? То есть сама полярная система задается точкой и лучом. Вот орты $\partial_r,\partial_{\varphi}$ привязаны к точке и лучу или орт $\partial_{\varphi}$ вращается?

-- 16.01.2014, 21:26 --

[Oleg Zubelevich]

а вы перечитайте ответ на предыдущий вопрос:

Oleg Zubelevich в сообщении #815296 писал(а):

в каждой точке определены базисные векторы

-- Чт янв 16, 2014 20:27:20 --

Oleg Zubelevich в сообщении #815296 писал(а):

в каждой точке определены базисные векторы касательного пространства $\partial_r,\partial_{\varphi}$, они касаются координатных кривых

[Seergey]

А какие координатные кривые в полярной СК текущий радиус вектор и угол или фиксированный луч и угол?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #815282 писал(а):

это не уравнение движения,это траектория

Есть две терминологии. В одной терминологии (распространённой в теоретической физике) "уравнения движения" - это дифференциальные уравнения. В другой (иногда встречаемой в школе и в технических вузах), "уравнения движения" - это решения дифференциальных уравнений. Разумеется, предпочитать надо первую.

[Seergey]

Пусть в полярной системе координат выбраны орты i и j, которые не поворачиваются и не изменяются по длине.

Если наложить декартову СК, совместив точку О полярной СК с началом декартовой и зафиксировать i и j, то согласно формулам перехода $x=r \cos (\theta )$ и $y=r \sin (\theta )$.



Тогда радиус-вектор точки раскладывается по базису i и j: $y(t)=i r(t) \cos (\theta (t))+j r(t) \sin (\theta (t))$

Скорость в полярной СК равна:
$\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial (i r(t) \cos (\theta (t))+j r(t) \sin (\theta (t)))}{\partial t}=r'(t) (i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t)))+r(t) \theta '(t) (j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t)))$

Но ПРИ МАЛОМ $\Delta \theta$:
$i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t))$ это вектор, сонаправленный с $\partial_r$, а $j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t))$ это вектор, сонаправленный с $\partial_{\varphi}$. То есть радиальная скорость равна $r'(t)$, а азимутальная $r(t) \theta '(t)$



Ускорение в полярной СК равно:
$\frac{\partial \frac{\partial y}{\partial t}}{\partial t}=\frac{\partial \left(r'(t) (i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t)))+r(t) \theta '(t) (j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t)))\right)}{\partial t}=r''(t) (i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t)))+r'(t) \theta '(t) (j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t)))+r'(t) \left(j \theta '(t) \cos (\theta (t))-i \theta '(t) \sin (\theta (t))\right)+r(t) \theta ''(t) (j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t)))+r(t) \theta '(t) \left(-i \theta '(t) \cos (\theta (t))-j \theta '(t) \sin (\theta (t))\right)=r''(t) (i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t)))+2 r'(t) \theta '(t) (j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t)))+r(t) \theta ''(t) (j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t)))-r(t) \theta '(t)^2 (i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t)))=\left(r''(t)-r(t) \theta '(t)^2\right) (i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t)))+\left(2 r'(t) \theta '(t)+r(t) \theta ''(t)\right) (j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t)))$

Но $i \cos (\theta (t))+j \sin (\theta (t))$ это вектор, сонаправленный с $\partial_r$, а $j \cos (\theta (t))-i \sin (\theta (t))$ это вектор, сонаправленный с $\partial_{\varphi}$. То есть радиальное ускорение равно $r''(t)-r(t) \theta '(t)^2$, а азимутальное $2 r'(t) \theta '(t)+r(t) \theta ''(t)$

Получается скорость и ускорение выражается и во втором случае, когда орты вращаются.



Так вот я ещё раз спрашиваю, какой способ задания ортов правильнее?