Вопросы по группам

[Artemoon]

Товарищи! Помогите разобраться с группами и подгруппами. Задачи таковы.

1. Выделить группу.
То есть записали много чисел, допустим, и сказали выделить группу. Я так понимаю, что нужно просто проверить 3 условия: ассоциативность, наличие обратного элемента и наличие нейтрального элемента + ко всему этому эта структура должна быть замкнута? А, и ещё нужно ввести бинарную операцию. Так?

2. В группе из п.1 выделить тривиальную/нетривиальную подгруппу.
Это т.н. "критерий подгруппы"? Окей. Условия у него такие:

1. для любых элементов $h_1$, $h_2$ принадлежащих $H$, элемент, равный их композиции ($h_1$ $\circ$ $h_2$), также принадлежит множеству $H$

2. для каждого элемента $h$ принадлежащего $H$, симметричный ему элемент $h'$ также принадлежит множеству $H$

А тут как быть? Допустим, у меня была группа подстановок с операцией композиции. Подстановки $h_1$, $h_2$. Проверяю первое условие. Взял сделал композицию $h_1$ $\circ$ $h_2$. Получил какую-то подстановку. Как определить, что она у нас принадлежит $H$?
Проверяю второе условие опять с той же группой подстановок. Симметричный элемент - нужно просто строки поменять местами в подстановке. Поменял. Получил новую подстановку. Как определить, что она принадлежит множеству $H$?
И вообще, можно привести примеры тривиальных/нетривиальных групп/подгрупп, пожалуйста?

Спасибо!

[ИСН]

1. Типа того, только следите за последовательностью действий, а то сейчас получилось "надо съездить в Тверь, а ещё прикрутить к машине колёса".
2. В группах есть слова "элемент", "операция", "единица" и ещё несколько. Слова "симметричный" там нет, и я его впервые слышу. Что я ещё пропустил? Зелёный? Длинный?

[Artemoon]

ИСН в сообщении #815110 писал(а):

1. Типа того, только следите за последовательностью действий, а то сейчас получилось "надо съездить в Тверь, а ещё прикрутить к машине колёса".
2. В группах есть слова "элемент", "операция", "единица" и ещё несколько. Слова "симметричный" там нет, и я его впервые слышу. Что я ещё пропустил? Зелёный? Длинный?

Нет, ну я ведь не просто так написал "критерий группы" в кавычках. Это теорема такая и то условие я как раз из неё взял. Сама она говорит нам о том, что если $G$ - группа и $H$ её подгруппа, то выполняются те условия, которые я написал в самом первом посте.
Симметричный элемент подгруппы относительно операции композиции - не выдуманное определение.

[ИСН]

ОК, ясно, симметричный - это обратный. Ладно. Делайте всё остальное.

[Artemoon]

ИСН в сообщении #815117 писал(а):

ОК, ясно, симметричный - это обратный. Ладно. Делайте всё остальное.

Спасибо. Более-менее всё укладывается.

А вот ещё вопрос. Какой обратный элемент будет для 1, 2, 3, 4... в подгруппе группы, в которой задана операция композиции? $\frac11$, $\frac12$, $\frac13$, $\frac14$?..
Или чем вообще вот эти операции нахождения обратного элемента определяются? Операцией, заданной в основной группе?

Ну то есть в данном примере у нас операция композиции в поле и обратный элемент ищу как $\frac1a$, где $a$ - элемент множества (прав или не прав - вопрос выше). А какая операция для нахождения обратного элемента определена в другом поле, в котором задана не операция композиции, а операция суммы, например?

Кто подскажет?

[provincialka]

У-ф-ф... Чё-то с терминологией надо делать! Каша полная.

Artemoon в сообщении #815121 писал(а):

А вот ещё вопрос. Какой обратный элемент будет для 1, 2, 3, 4... в подгруппе группы, в которой задана операция композиции? 1/1, 1/2, 1/3, 1/4?..

Если у вас операция называется "композицией", то почему вы ее применяете к числам? И почему обратный нужно искать именно в подгруппе? А что такое дробные числа? Какие вообще объекты входят в вашу группу?

Artemoon в сообщении #815121 писал(а):

Ну то есть в данном примере у нас операция композиции в поле

Что вы понимаете под "полем"?

Artemoon в сообщении #815121 писал(а):

А какая операция для нахождения обратного элемента определена в другом поле, в котором задана не операция композиции, а операция суммы, например?

Опять поле. Для суммы роль "обратного" элемента играет противоположный (т.е. с минусом).

-- 16.01.2014, 13:58 --

Artemoon, дайте-ка вы определение группы.

[ИСН]

Полей вообще пока нет и говорить о них не надо.
Обратный элемент для 1 будет 1, ы, -1, $\rotatebox{180}1$, возможны другие варианты. Смотря в какой группе. Вы какую имели в виду? Ту, в которой задана операция? У всех задана операция. У которой жена ушла? У всех жена ушла. Назовите группу. Нет группы - нет мультиков.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Artemoon
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул.

[Artemoon]

provincialka в сообщении #815122 писал(а):

Если у вас операция называется "композицией", то почему вы ее применяете к числам?

А что мешает? Тогда к приведённой системе вычетов я могу применить операцию композиции (ну и с заданной группой, соответственно)?

provincialka в сообщении #815122 писал(а):

И почему обратный нужно искать именно в подгруппе?

Не обязательно. Это я свой пример навязываю. Обратный можно и в группе искать.

provincialka в сообщении #815122 писал(а):

Что вы понимаете под "полем"?

Вот что-то я не понял сейчас как я в поля залез. Напутал, да.

provincialka в сообщении #815122 писал(а):

Опять поле.

Тут должна быть группа.

provincialka в сообщении #815122 писал(а):

Artemoon, дайте-ка вы определение группы.

Группа - множество с заданной на нём бинарной операцией ПЛЮС необходимо выполнение 3 аксиом, писал в первом посте.

provincialka в сообщении #815122 писал(а):

Какие вообще объекты входят в вашу группу?

Давайте пока у меня это будет множество целых чисел и операция суммы. Ну то есть как я сказал $1, 2, 3, 4...$
Обратный в данном случае мы ищем как противоположный. Ставим знак минуса. Понял.
Как искать обратные для других чисел того же множества той же группы НО при другой заданной в группе бинарной операции? Ну хотя бы та же сумма, разность и к чему я их могу применить. То есть как я понял, вроде операцию композиции к целым числам применять нельзя.

И второй вопрос, связанный с этим. Вот мы нашли обратный элемент. А как теперь доказать, что он принадлежит той же группе/подгруппе? В книге так и говорят - это обратный. Ну я всё понимаю, конечно!

==всё, что ниже - исправлено==

Вот пример. Допустим, у меня была приведённая система вычетов по модулю 15 - $\lbrace1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\rbrace$, из неё я сделал группу с определённой на ней операцией композиции (это тут лишнее? сам факт, что я беру её по модулю 15 уже достаточен для того, чтобы сказать, что операция будет композиция или нет?) — $(U_{15}, \circ (\mod 15))$. Из этой группы я выделил подгруппу $\lbrace1, 2, 4, 8\rbrace$ и попытался проверить — а действительно ли полученная группа является подгруппой?
Как быть? Как в данном случае искать обратный элемент и как найти композицию двух элементов из подгруппы?

Учебник на этом шаге говорит, что всё нормально, подгруппой группа является без особых оснований.

Ну или пример с числами. Допустим, у нас было то же множество целых чисел и группа с заданной на ней суммой. Вот вы говорите, что при заданной операции суммы обратным элементом будет элемент с противоположным знаком.
Пусть у нас была $1$, мы взяли её, сделали $-1$, нашли обратный тем самым. Ну хорошо, тут я понимаю, что мы за множество целых чисел не выходим, тогда получается что в первом примере мы не выходим за приведённую систему вычетов по модулю $15$?

Если это так, то я правда всё понял.

[ИСН]

Artemoon в сообщении #815154 писал(а):

Допустим, у меня была приведённая система вычетов по модулю 15, из неё я сделал группу с определённой на ней операцией композиции.

You lost me. Какая ещё композиция? Я думал, композиция бывает только у перестановок, у функций, и у строк. А это что где кого почему?

[Artemoon]

ИСН в сообщении #815155 писал(а):

Artemoon в сообщении #815154 писал(а):

Допустим, у меня была приведённая система вычетов по модулю 15, из неё я сделал группу с определённой на ней операцией композиции.

You lost me. Какая ещё композиция? Я думал, композиция бывает только у перестановок, у функций, и у строк. А это что где кого почему?

Это ужасная ошибка! Бред там написал. Сейчас перепишу концовку сообщения.
Я смотрел в первый свой пример, а спросил по второму.

Извините, уже устал.

[ИСН]

Ах да, и ещё:

Artemoon в сообщении #815154 писал(а):

Как искать обратные для других чисел того же множества той же группы НО при другой заданной в группе бинарной операции?

В группе не бывает другой операции. Одна операция - одна группа. Другая операция - другая группа, совсем даже не однофамилица первой, и знание первой к ней неприменимо. Вы своё левое ухо можете найти? Думаю, легко. А теперь найдите-ка его же, НО при условии другого заданного Вам пола, возраста и цвета глаз. Что? Не выйдет? Так отож.

[Artemoon]

ИСН в сообщении #815158 писал(а):

В группе не бывает другой операции.

Это я понимаю. Мне интересно для другой группы. Вот я и говорю - у меня будет другая группа и другая операция. Как я должен искать обратный элемент? Где про это можно почитать?

[ИСН]

Так же, как искали в первой, только теперь в другой. По правилам действия этой Вашей операции. Больше в таком общем виде ничего сказать нельзя.

[Artemoon]

А можете подсказать что такое единичная группа? Что-то нигде не могу найти.

Так, уже нашёл. Единичная группа — это группа, у которой множество всех подгрупп состоит из одной подгруппы.

Другой вопрос. Если из набора чисел 0, 34, 1, 24, 6 просят образовать группу и ввести бинарную операцию, то как быть с нулём? Почему 0 не может попасть в нашу группу, ну или множество группы?..