Математическая экономика

[Shuklin Sergey]

Пусть $X=\lbrace x,y,z \rbrace $, $\mathfrak{B}=\lbrace\lbrace x,y\rbrace, \lbrace y,z\rbrace, \lbrace z,x\rbrace\rbrace$. Предположим, что выбор является случайным, то есть $\forall B\in\mathfrak{B}$, $C(B)$ это вероятностное распределение на альтернативах из $B$. Например, для $B=\lbrace x,y\rbrace$ имеем $C(B)=(C_x (B),C_y(B))$, где $C_x (B)+C_y(B)=1$, $C_x (B)\geq0$, $C_y(B)\geq0$. Будем говорить, что правило случайного выбора $C(\cdot)$ можно рационализировать по предпочтению, если существует вероятностное распределение $P$ на множестве всех шести строгих предпочтений для альтернатив из $ X (x\succ y\succ z, x\succ z\succ y, ...) $ такой, что для каждого $B\in\mathfrak{B}$, $C(B)$ порождается распределением $P$ . Например $B=\lbrace x,y\rbrace$, $C_x (B)=P\lbrace \succ:x\succ y\rbrace$.
1.) Показать, что правило случайного выбора $C(\lbrace x,y\rbrace)=C(\lbrace z,y\rbrace)=C(\lbrace x,z\rbrace)=(1/2,1/2)$ можно рационализировать по предпочтению.
2.) Показать, что правило случайного выбора $C(\lbrace x,y\rbrace)=C(\lbrace z,y\rbrace)=C(\lbrace x,z\rbrace)=(1/4,3/4)$ нельзя рационализировать по предпочтению.
Идея решения.
Для всего множества альтернатив $ X (x\succ y\succ z, x\succ z\succ y, ...) $ я обозначил вероятности

$$p_1=p(x\succ y\succ z), p_2=p(x\succ z\succ y), p_3=p(y\succ x\succ z), p_4=p(y\succ z\succ x), p_5=p(z\succ x\succ y), p_6=p(z\succ y\succ x)$$

. Их сумма дает единицу, все эти события не пересекаются, потому образуют полную группу событий.
$C_x (\lbrace x,y\rbrace)=p_1+p_2+p_5$, аналогично еще пять равенств записываем.
В пункте 1 все $C_i$ равны $1/2$.
Из полученной системы выходит $p_1=p_6$, $p_2=p_4$, $p_3=p_5$.
В пункте 2 зависимости выходят похожие: $p_1=p_6$, $p_2+1/2=p_4$, $p_3=p_5$.
В первом случае можно подставить все $p_i=1/6$, а во втором $p_i=1/12$, кроме $p_4=1/2+1/12$. Получается, что в обоих пунктах можно рационализировать. Пробовал искать еще какие-то связи между вероятностями через формулы Баеса и полной вероятности, но они либо дают такой же результат, либо ни к чему не приводят. Подскажите, что с этой задачей можно сделать.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите собственные попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[migmit]

Вы, действительно, нашли положительное решение задачи в том виде, в котором она поставлена. Вероятнее всего, что в формулировке допущена опечатка: должно быть что-то вроде $C(\{y,x\})=C(\{z,y\})=C(\{x,z\})=(\frac14,\frac34)$.

[Shuklin Sergey]

Да, действительно Вы правы. Данное условия я переписал из учебной методички. Нашел эту же задачу в книге "Microeconomic Theory" Andreu Mas-Colell, Michael Dennis Whinston, Jerry R. Green, Oxford University Press, 1995.
Там только условие, но в том варианте, что Вы предложили $C(\lbrace x,y\rbrace)=C(\lbrace y,z\rbrace)=C(\lbrace z,x\rbrace)=...$ Видимо опечатка
Да, действительно!
В задаче есть еще третий пункт, который я не писал здесь: там $...=(\alpha,1-\alpha)$. В версии задачи которую я написал в теме она всегда имеет решение (подобрать не сложно, когда расписать всю систему), а в версии с книги получается вполне конкретный ответ для параметра $\alpha$.
Спасибо, что указали на ошибку. Я полностью решил задачу