об уравнении Навье-Стокса

[zhanerke]

как именно прокомментировала? ошибку нашла?

[shwedka]

shwedka в сообщении #813380 писал(а):

НН Уральцева прокомментировала
последние события: не верю

и обещала посмотреть подробно

[Oleg Zubelevich]

sup: Temam Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis

[Oleg Zubelevich]

Вот кстати, из написанного уже в этой ветке можно вывести такое любопытное следствие. Рассмотрим уравнение Навье-Стокса в отсутствие сил. И пусть $v(t,x)$ -- слабое решение. Оказывается, что начиная с некоторого $T$ для всех $t>T$ данное решение делается классическим. Во всяком случае это так для постановки с периодическими гран. условиями и для постановки с нулевыми условиями на границе в ограниченной области

[sup]

Oleg Zubelevich
Насчет выхода на классическое решение. Это же вроде бы известный результат?

За ссылку спасибо, обязательно погляжу. У меня есть Темам, но немного "другой"
"Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis".
Взамен могу указать на явный косяк у Отелбаева. (возможно это будет интересно тем, кто читает его работу).
Лемма 6.10.
Заявляется, что некую величину $\|S\|$ можно увеличить. Для этого вводится вспомогательный параметр $\xi$. Относительно этого параметра решается некое вспомогательное дифф. уравнение. Результатом и должно стать новое значение $S$. Отсчет начинается с $\xi = \xi_1$.
Ну так вот. Формула (6.19) дает зависимость
$\|S(\xi_2)\|^2 = \|S(\xi_1)\|^2 + 2(\xi_2 - \xi_1)<PMSu,e> +O((\xi_2 - \xi_1)^2)$
Что такое $PMSu$ и $e$ знать не обязательно. Какие то элементы гильбертова пространства. Какое-то скалярное произведение. Главное, что этот самый $PMSu$ запросто может быть равен 0. Этот случай ПРЯМО оговаривается в конце стр.53. Значит линейная добавка может быть нулевая а поправка неизвестного знака - квадратичная.
Далее, в формуле (6.22) возникает еще одна квадратичная добавка (плюс, возможно, еще что-то более малое)
Ну и, наконец, на стр. 57
"... а из вторых равенств (6.19), (6.22) выводим строгое неравенство $\|S(\xi_3)\| > \|S(\xi_1)\|$"
Как мы понимаем, вывести не удастся.
Отмечу, что этого следовало ожидать. Дело в том, что в дальнейшем, эта самая $S$ будет выбрана как элемент, на котором достигается максимум некого функционала (квадрат нормы со всякими ограничениями). А значит, градиент этого функционала должен обратиться в 0. Тот самый $PMSu$ как-то сродни этому градиенту, а значит он и должен обратиться в 0.
А вообще, даже если с этим косяком удастся разобраться, не похоже, что такой подход сработает. Очень грубые оценки по норме. Тривиальщина. Я думал, что он внутри где-то решает вспомогательную задачу "с малой нормой". Ну что-нибудь такое.
В предыдущей ссылке (shwedka указывала ранее) у него было такое утверждение.
Если последовательность правых частей $f_n$ слабо сходится в $L_2$ к некой $f$ и для этой $f$ решение гладкое, то для достаточно больших номеров и для $f_n$ существует гладкое решение.
Вполне содержательное утверждение. Хотя и доказывается сравнительно легко.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #813784 писал(а):

Насчет выхода на классическое решение. Это же вроде бы известный результат?

конечно известный, тривиальный даже. Просто фольклор. Но в чем можно быть уверенным, когда, люди не понимают вопроса на уровне постановки задачи . Я не Вас имею в виду, Вы себя экспертом в Навье-Стоксе не позиционировали ( ятоже себя специалистом не считаю). То как ставится задача в случае периодических гран. условий содержится в цитированном Тимаме. Эта постановка разумеется исключает линейные добавки к давлению.
Я бы ище заметил кое-что относительно цитированного результата Като и Фуджиты, но , втягиваться в бессмысленный флуд неохота.

[shwedka]

Есть одно сомнительное место в самом начале. На стр.7, внизу, написано

Без ограничения общности, начальное условие можно считать нулевым

Такая редукция, обычная для линейных задач, для НС неочевидна, и я не видела, чтобы где-то она проводилась.
У классиков-- Лерэ, Ладыжеской, Като, Темама, Крейсса и других
такая редукция не производится. Не видно ее и в предшествующих работах Отелбаева на эту тему - я посмотрела несколько. Там прямо предполагается, что сначала был нуль...

[sup]

Обнуление начальных данных происходит следующим образом. Локальная разрешимость есть. Рассмотрим это локальное гладкое решение $u(x,t)$. Пусть это решение гладкое при $t < 2t_0$. Пусть $\varphi (t) \geqslant 0$ - гладкая, $\varphi (0)=0$ и $\varphi (t)=1$ для $t > t_0$. Рассмотрим $v = \varphi (t)u$. Перепишем уравнение для $v$. Правая часть изменится только при $t < t_0$. Решаем эту задачу с нулевыми начальными данными. Затем склеиваем $u$ и $v/\varphi (t)$. Склейка возможна, поскольку в силу теоремы единственности $v = \varphi (t)u$ при $t < 2t_0$.

[shwedka]

sup в сообщении #813797 писал(а):

Обнуление начальных данных происходит следующим образом. Локальная разрешимость есть. Рассмотрим это локальное гладкое решение $u(x,t)$. Пусть это решение гладкое при $t < 2t_0$. Пусть $\varphi (t) \geqslant 0$ - гладкая, $\varphi (0)=0$ и $\varphi (t)=1$ для $t > t_0$. Рассмотрим $v = \varphi (t)u$. Перепишем уравнение для $v$. Правая часть изменится только при $t < t_0$. Решаем эту задачу с нулевыми начальными данными. Затем склеиваем $u$ и $v/\varphi (t)$. Склейка возможна, поскольку в силу теоремы единственности $v = \varphi (t)u$ при $t < 2t_0$.

Немножно лихо!
Для v полчается другая форма конвекционного члена, с лишним $\varphi$. Подробнее не трудно ли написать?


- хотя, вроде, все ОК, все лишнее уходит в силу.

[sup]

Положим при $t < t_0$
$F = L(\varphi u)$
А при $t > t_0$
$F = f$
Рассмотрим задачу
$Lv = F$
Найдем решение $v$ этой задачи. По теореме единственности при $t < 2t_0$
$v = \varphi u$

[g______d]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #813794 писал(а):

Есть одно сомнительное место в самом начале. На стр.7, внизу, написано

Без ограничения общности, начальное условие можно считать нулевым

Такая редукция, обычная для линейных задач, для НС неочевидна, и я не видела, чтобы где-то она проводилась.

Вы же мне на этот вопрос и ответили :)

Цитата:

Почему достаточно считать начальную скорость нулевой (формула (1.2))? Разве даже для малых начальных скоростей задача не решена? Или дело в ненулевом и это какой-то известный трюк?

Цитата:

в грубых словах, можно с помощью трюка, замены функции, перегонять начальные условия в силу (но не наоборот).

Начался проект по переводу: https://github.com/myw/navier_stokes_translate

С точки зрения изложения мне не нравится, что когда речь идет об операторе Лапласа, все время говорится, на чем он определен. А про область определения билинейного оператора $B$ я не нашел ни слова. Казалось бы, с билинейными операторами (тем более неограниченными) надо еще аккуратнее... Впрочем, это вряд ли является серьезной проблемой.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

sup: я все-таки с нетерпением жду Ваших комментариев
(после прочтения текста Темама http://ftp.mi.fu-berlin.de/klima/Navier ... alysis.pdf Вам нужно посмотреть текст до стр 14 )
относительно вот этого:

shwedka в сообщении #813223 писал(а):

В НС входит градиент давления, а не само давление. Периодичность градиента, следующая из периодичности скоростей, не влечет периодичности давления.
Последнее - дополнительное условие, которого в постановке Клэя в официальной формулировке Ч.Феффермана нет.
http://www.claymath.org/sites/default/f ... stokes.pdf
p 1, 1.8
Итак, если давление, скажем, линейная функция времени, то оно непериодично, а его градиент периодичен.
Это неприятно, до так есть.

особенно в части давления как линейной функции в контексте официальной формулировки Ч.Феффермана

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

уточняющий коммент:

shwedka в сообщении #813223 писал(а):

РЕчь идет не о периодичности по времени, а по периодичности по пространственным координатам, условие 1.3 на стр 8 Отелбаева.

В НС входит градиент давления, а не само давление. Периодичность градиента, следующая из периодичности скоростей, не влечет периодичности давления.

[sup]

(2Oleg Zubelevich)

Не знаю, что новое я Вам могу рассказать. Если я Вас правильно понял, то Вы имеете в виду формулу (2.43) из книги Темама. Это другая запись тождества (2.41), которое суть интегральное тождество с периодическими пробными функциями. Замечу, что давление там и вовсе не фигурирует, но если его таки ввести (сначала градиент, а потом уже и само давление), то оно окажется периодическим. Ну и что. А я или кто-то другой даст другое определение. И из него периодичность давления следовать не будет. Какое определение выберем?
Вопрос , как мне кажется, не в этом, а вот в чем. Предположим, кому-нибудь удастся предъявить пример, когда гладкое решение во всем пространстве с непериодическим давлением существует, а с периодическим нет. Что мы в этом случае должны делать?
Возможны два варианта.
1. Объявить такое решение ересью или нефизичным, навроде "неэнтропийных" разрывных решений уравнения Хопфа.
2. Допустить такие решения, хотя бы и ценой потери единственности.
По идее, критерий тут простой. Можно ли наблюдать такие решения на практике или нет? Тут я не знаю что сказать. Скорее уж Вы мне расскажете, что тут можно ожидать.
Что касается статьи Феффермана, возможно периодичность давления убрана из соображений максимально широкого определения. Пусть хотя бы в такой максимально широкой постановке будет доказано существование гладких решений.

[Munin]

(2sup)

sup в сообщении #814386 писал(а):

1. Объявить такое решение ересью или нефизичным, навроде "неэнтропийных" разрывных решений уравнения Хопфа.

Нефизичным-то почему? Как раз строгая периодичность физике противна. Впрочем, и задача в безграничном пространстве - тоже.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich - про практику? Оксюморон! :-)