Потенциальная энергия

[maxwader]

Потенциальной энергией обладает тело находясь в поле. Еп=mgh. Она может переходить в энергию движения (кинетическую).

[Aritaborian]

(Оффтоп)

maxwader, вы ж скоро нарвётесь. Может быть, прекратите, пока не поздно?

[Toucan]

maxwader в сообщении #810792 писал(а):

Потенциальной энергией обладает тело находясь в поле. Еп=mgh. Она может переходить в энергию движения (кинетическую).

maxwader, очередное бессодержательное сообщение.
В связи с недейственностью других мер (замечание, предупреждение, строгое предупреждение), на этот раз - недельный бан.

[HukumuH]

ewert в сообщении #810505 писал(а):

HukumuH в сообщении #810258 писал(а):

Есть ли какое-то доказательство, из которого выплывает этот минус?

Минус выплывает не из доказательства, а из определения. Если принять по определению, что полная энергия есть именно сумма кинетической и потенциальной, то изменение потенциальной энергии...

Речь же не о изменении, которое может быть положительно и отрицательно, так как изменение - это допустим $E_2 - E_1$. Но почему мы имеем $(- $выражение для$ E_2) - (-$выражение для$ E_1)$. Минус внутри скобок объясните, пожалуйста. В скобках не "изменение величины", а полноценная величина.

[DimaM]

HukumuH
http://dxdy.ru/post810495.html#p810495.

[HukumuH]

DimaM в сообщении #813209 писал(а):

HukumuH http://dxdy.ru/post810495.html#p810495.

Вы имеете в виду это:

Цитата:

Связь силы и потенциальной энергии ${\bf F}=-\nabla U$

? Но ведь $\vec g(\vec r) = \nabla\varphi $, то есть по сути ${\bf g} = -\nabla U $. Так как $\vec g$ и $\vec F$ не одно и то же, то Вы уверены в правильности формулы?

Помимо того, что запись ${\bf F}=-\nabla U$ вызывает сомнения по поводу того, стоит ли там вектор силы, помимо этого формула просто констатирует $\varphi = - U$. А я об этом и спрашивал. Почему потенциал равен минус пот. энергии? Это просто постулат, что $A=-U$?

[Munin]

HukumuH в сообщении #813284 писал(а):

Но ведь $\vec g(\vec r) = \nabla\varphi $, то есть по сути ${\bf g} = -\nabla U $.

$U$ - потенциальная энергия, $\varphi$ - потенциал. Отличаются они между собой на тот же множитель, что и $\mathbf{F}$ от $\mathbf{g}.$

HukumuH в сообщении #813284 писал(а):

помимо этого формула просто констатирует $\varphi = - U$.

Нет, этого формула не констатирует. Множитель там другой, и алгебраически положительный. (Отрицательный возникает в электростатике.)

[HukumuH]

Munin в сообщении #813298 писал(а):

HukumuH в сообщении #813284 писал(а):

Но ведь $\vec g(\vec r) = \nabla\varphi $, то есть по сути ${\bf g} = -\nabla U $.

$U$ - потенциальная энергия, $\varphi$ - потенциал. Отличаются они между собой на тот же множитель, что и $\mathbf{F}$ от $\mathbf{g}.$
...

Согласен. Запутался: в книжке говорится, что потенциал - работа по перемещению единичной массы.

Цитата:

HukumuH в сообщении #813284 писал(а):

помимо этого формула просто констатирует $\varphi = - U$.

Нет, этого формула не констатирует. Множитель там другой, и алгебраически положительный. (Отрицательный возникает в электростатике.)

Коль скоро потенциал - работа по перемещению единичной массы, то множитель - масса. Попробуем расписать формулу:
$ \vec F = \nabla U =m \nabla \varphi = m \nabla\frac{GM}{r} =m \frac{GM}{r}({\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}) =m GM({\partial (r^{-1})\over\partial x}\vec{i}+{\partial (r^{-1})\over\partial y}\vec{j}+{\partial (r^{-1})\over\partial z}\vec{k}) = mGM(-{x\over{r^3}}\vec{i}-{y\over{r^3}}\vec{j}-{z\over{r^3}}\vec{k}) = -m{GM\over{r^3}}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}) = -m{GM\over{r^3}}(\vec{r}) $

Действительно получили формулу силы в законе всемирного тяготения. Но в формуле DimaM'а знак "минус":

DimaM в сообщении #810495 писал(а):

Связь силы и потенциальной энергии ${\bf F}=-\nabla U$

Или минус здесь потому, что в формуле $E_{pot}=mgh$ минуса нет? Довольно странно, что математика не дает автоматом правильный ответ, и нужно заучивать все места с минусом в формулах. Напр. в статической задаче я направляю силы, как хочу, а математика мне потом знаком "минус" подскажет, что я направил неправильно. Почему здесь такого нет?

[Munin]

HukumuH в сообщении #813316 писал(а):

Коль скоро потенциал - работа по перемещению единичной массы, то множитель - масса.

Правильно.

HukumuH в сообщении #813316 писал(а):

Но в формуле DimaM'а знак "минус"

Да. И в формуле для потенциала знак минус:

$$\varphi=-\dfrac{GM}{r}.$$

А вы его не учли. Если учесть оба знака минус, то ответ получается правильный.

Вы должны понять, что если ошибиться в знаке чётное число раз, то ответ может случайно сойтись. Но это неправильный путь к ответу: надо избавляться от всех ошибок.

HukumuH в сообщении #813316 писал(а):

Довольно странно, что математика не дает автоматом правильный ответ

Даёт. Просто вы не умеете этим "автоматом" пользоваться. Там, где все люди бегают, вы нетвёрдо стоите на ножках, как годовалый младенец, и постоянно падаете.

HukumuH в сообщении #813316 писал(а):

и нужно заучивать все места с минусом в формулах.

Нужно заучивать сами формулы. Минус - это часть формулы, а не украшение.

HukumuH в сообщении #813316 писал(а):

Напр. в статической задаче я направляю силы, как хочу

Это очень плохо. Скорей всего, вы такие задачи решать не умеете. А то, что у вас получается - тоже результат случайных совпадений.

[DimaM]

HukumuH в сообщении #813316 писал(а):

Запутался: в книжке говорится, что потенциал - работа по перемещению единичной массы.

И еще раз повторю: уберите эту книжку, возьмите вместо нее нормальную.

[HukumuH]

Munin в сообщении #813331 писал(а):

HukumuH в сообщении #813316 писал(а):

Но в формуле DimaM'а знак "минус"

Да. И в формуле для потенциала знак минус:

$$\varphi=-\dfrac{GM}{r}.$$

А вы его не учли.

Кажется, понял. Минус выплыл из интеграла силы $GMm\int\limits_\infty^r {1 \over x^2} \, dx$. Я просто хотел разобраться, а не заучивать.

[Munin]

Чтобы разобраться, совет такой. Нарисуйте рисунок, на котором обозначьте направление силы и направление интегрирования. Отдельно, или совместно, нарисуйте график $U(r)$ (и можно два графика, вместе с $\varphi(r)$), на нём обозначьте и знак самой $U,$ и знак её производной, разберитесь с направлением градиента. И потом, пройдите по выкладкам с самого начала до самого конца, глядя постоянно на эти рисунки и графики.

[Pineapple]

А что такое полезная работа и затраченная работа? Если поднимать тело на какую-нибудь высоту по наклонной плоскости, то все понятно. Полезная работа будет равна изменению потенциальной энергии, а затраченная будет равна произведению силы тяги на перемещение.
А если какой-нибудь брусок перетащить с одного места в другое (прямолинейно), то чему будет равна затраченная работа и полезная работа?
Или если я буду ровно вверх поднимать камень привязанный на веревке, то чему будет равна затраченная работа?

[Munin]

Эти вещи различают, если есть сила трения. Тогда полезная работа - это такая, которая была бы совершена, если бы трения не было. В таком случае, была бы просто потенциальная энергия (в школьных механических задачах, которыми и ограничимся), и полезная работа равна изменению этой энергии (со знаками сами разберётесь по смыслу).

А затраченная - это полная работа, которую пришлось совершить. Часть её пошла на преодоление потенциальной силы (эта часть иногда отрицательна, внимание!), а часть - на преодоление силы трения.

Отсюда, попробуйте сами ответить на свои вопросы.

[Pineapple]

Если ровно вверх поднимать камень привязанный на веревке, то затраченная работа будет равна произведению силы натяжения веревки на перемещение. В этом случае затраченная работа будет больше полезной, т. к. нужно преодолеть силу сопротивления воздуха и затратить работу, чтобы поднять веревку.

Если какой-нибудь брусок перетащить с одного места в другое (прямолинейно), то работа будет затрачена на преодоление силы трения и силы сопротивления воздуха. Полезная работа наверное будет равна нулю... Почему-то это затруднение вызывает.