Уравнения для излучаемого поля

[chsv]

VladimirKalitvianski в сообщении #805631 писал(а):

Я не понял Вашего вопроса. Для чего годится?

Как я понимаю, поле произвольно движущегося заряда описывает как ближнее, так и дальнее поле. Или я неправ?

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #805603 писал(а):

вычитать хотелось бы не поле равномерно движущегося заряда, а ближнее поле произвольно движущегося заряда.

Но ведь с полем произвольно движущегося заряда и так все ясно. Оставьте в известном выражении для запаздывающих потенциалов только член для дальнего поля, и ответ готов.
Насколько я понимаю г. VladimirKalitvianski интересует результат для более общего случая, когда источники ЭМ поля заданы в виде 4-векторного поля плотности зарядов-токов?

[Munin]

Чего его интересует, он сам ответить не может. "Что-то такое, лишь бы уже готовое".

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #806409 писал(а):

Чего его интересует, он сам ответить не может. "Что-то такое, лишь бы уже готовое".

Что меня интересует, я написал в самом первом сообщении.

[VladimirKalitvianski]

VladimirKalitvianski в сообщении #804100 писал(а):

Все мы знаем уравнения Максвелла с заданными источниками. Меня интересует одиночный точечный заряд, движущийся в ограниченном пространстве и излучающий вдаль электромагнитное поле. Решение уравнений Максвелла состоит из "ближнего" поля и поля, улетающего на бесконечность:

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=e\frac{1-v^2/c^2}{\left(R-\frac{\mathbf{v}\mathbf{R}}{c}\right)^3}\left(\mathbf{R}-\frac{\mathbf{v}}{c}R\right)+\frac{e}{c^2\left(R-\frac{\mathbf{v}\mathbf{R}}{c}\right)^3}\mathbf{R}\times\left[\left(\mathbf{R}-\frac{\mathbf{v}}{c}R\right)\times\dot{\mathbf{v}}\right],\, \dot{\mathbf{v}}=\partial \mathbf{v} /\partial t'$

$\mathbf{H}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{R(t')}\left[ \mathbf{R}(t')\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t(t')) \right]$

Все выражения в правых частях берутся в прошлый момент времени $t'=t-\frac{R(t')}{c}$.

Быстро убывающая часть электромагнитного поля есть ближнее поле (первое слагаемое в выражении для электрического поля). Обозначим его $\mathbf{E}_1$. Оставшаяся часть спадает медленнее и зависит от ускорения заряда, обозначим ее $\mathbf{E}_2$, и аналогично для магнитного поля. Так вот, меня интересует, как вывести уравнения для $\mathbf{E}_2$ и $\mathbf{H}_2$. Может, они уже где-то выведены, но мне не попадались. Можно ли слагаемые источников разбить на пару слагаемых, одно из которых даст ближнее, а другое улетающее поля? Как вы думаете?

Определим $\mathbf{E}_1$ как $\mathbf{E}_1(\mathbf{r},t)=e\frac{1-v^2/c^2}{\left(R-\frac{\mathbf{v}\mathbf{R}}{c}\right)^3}\left(\mathbf{R}-\frac{\mathbf{v}}{c}R\right)$ и $\mathbf{H}_1$ как $\mathbf{H}_1(\mathbf{r},t)=\frac{1}{R(t')}\left[ \mathbf{R}(t')\times\mathbf{E}_1(\mathbf{r},t(t')) \right]$.

Уравнения для полных полей следующие:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{E}=-\frac{4\pi}{c}\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}-4\pi\, \operatorname{grad}\,\rho$

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j}$

Поэтому уравнения для излучаемых полей будут:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}_2}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{E}_2=-\frac{4\pi}{c}\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}-4\pi\, \operatorname{grad}\,\rho - (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}_1}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{E}_1)$

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}_2}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{H}_2=\frac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j}-(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}_1}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{H}_1)$

Что я хочу сказать по поводу этих уравнений, так это то, что источник поля излучения (правая часть уравнения) распределен (неоднородно) в пространстве и не является "точечным".

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski в сообщении #811539 писал(а):

Поэтому уравнения для излучаемых полей будут:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}_2}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{E}_2=-\frac{4\pi}{c}\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}-4\pi\, \operatorname{grad}\,\rho - (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}_1}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{E}_1)$

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}_2}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{H}_2=\frac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j}-(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}_1}{\partial t^2}-\Delta \mathbf{H}_1)$

Дык ведь как бы и я о том же...

SergeyGubanov в сообщении #805058 писал(а):

$$\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\nu} \left( \sqrt{-g} \, g^{\nu \alpha} g^{\mu \beta} F^{[2]}_{\alpha \beta}\right) = 4 \pi J^{\mu} - \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\nu} \left( \sqrt{-g} \, g^{\nu \alpha} g^{\mu \beta} F^{[1]}_{\alpha \beta}\right)$$

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #812120 писал(а):

Дык ведь как бы и я о том же...

А я и не спорю, только у Вас упор на ковариантность, а у меня на правую часть, на ее свойства. См.

VladimirKalitvianski в сообщении #804226 писал(а):

Я не уверен. Мы можем в УМ перенести все члены с $\mathbf{E}_1$ в правую часть и не факт, что они полностью скомпенсируют источник.