Решить уравнение Пелля

[Mary84]

Добрый вечер.

Задача: решить уравнение для всех указанных значений n, используя разложение в непрерывные дроби

$N=n^2+1$

$(nk)^2+k$
$(nk)^2+2k$
$ n^2-1$

Теория:
Решения уравнения Пелля $x^2-my^2=1$ - числители и знаменатели подходящих дробей.
Пусть (x,y) - положительное решение уравнения Пелля. Тогда $\frac{x}{y}$ является подходящей дробью к $ \sqrt{m}$

Какие подходящие дроби соответствуют решениям уравнения Пелля

Пусть n - длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа $ \sqrt{m}$.

Тогда числитель и знаменатель подходящей дроби числа $ \sqrt{m}$ являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда её номер
имеет вид $kn-1$ (т.е. даёт при делении на n остаток n-1) и нечётен.


Уравнение выглядит не совсем как уравнение Пелля. Я не знаю как привести его к нужному виду для значений n.
Подскажите, пожалуйста, как нужно решать задачу.

[Someone]

Какое уравнение-то надо решить? Если

Mary84 в сообщении #810176 писал(а):

$x^2-my^2=1$

то причём тут $n$?

[nnosipov]

Догадаться, конечно, можно, но лучше пусть ТС самостоятельно устранит этот беспорядок с буквами. А уж потом подскажем, что делать.

[Mary84]

Прошу прощения, там везде конечно n. Я из учебника взяла теорию и там было другое обозначение. Правка недоступна, наверное лимит времени на неё вышел. Тогда и период надо переобозначить на p.

Числитель и знаменатель подходящей дроби для \sqrt{n} являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с -1 по модулю P, где P — период цепной дроби для \sqrt{n}.

[Someone]

Так напишите заново. А то у Вас написаны одно равенство и три выражения, содержащие три разные буквы, после чего спрашивается про уравнение, не содержащее ни одной из этих букв.

[nnosipov]

Mary84, напишите заново точную постановку задачи. Что дано, что нужно получить.

[Mary84]

Отредактировала.

Задача: решить уравнение Пелля для всех указанных значений N, используя разложение в непрерывные дроби

$N=n^2+1$
$N= (nk)^2+k$
$N= (nk)^2+2k$


Теория:
Решения уравнения Пелля $x^2-Ny^2=1$ - числители и знаменатели подходящих дробей.
Пусть (x,y) - положительное решение уравнения Пелля. Тогда $\frac{x}{y}$ является подходящей дробью к $\sqrt{N}$

Какие подходящие дроби соответствуют решениям уравнения Пелля

Пусть p - длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа $\sqrt{N}$.

Тогда числитель и знаменатель подходящей дроби числа $\sqrt{N}$ являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда её номер
имеет вид $kp-1$ (т.е. даёт при делении на $p$ остаток $p-1$) и нечётен.

Для начала, нужно разложить $\sqrt{N}$ в непрерывную дробь. А потом нужно выбирать нужные дроби, насколько я понимаю.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #810231 писал(а):

Отредактировала.

Плохо отредактировали. По-прежнему непонятно (и Вам самой в первую очередь), какое же уравнение нужно решить.

Пока не будет точной постановки задачи, обсуждать нечего.

[Mary84]

Я сейчас поняла. Всё на свои места встало. Попробую сейчас разобраться. Проблема, похоже, была именно в непонимании формулировки. Спасибо, что указали на ошибки.

[nnosipov]

А, вот теперь гораздо лучше. Так, начните со случая $N=n^2-1$, это самый простой случай. Попробуйте найти какую-нибудь пару $(x,y)$ целых чисел, для которой $x^2-(n^2-1)y^2=1$. Это совсем легко.

Разложение в цепную дробь $\sqrt{N}$ пока отложим. Хотя можно и с этого начать, если именно так требуется решать задачу.

[Mary84]

Можно, например, взять $x=1 \quad y=0$ или $x=-1 \quad y=0$.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #810252 писал(а):

Можно, например, взять $x=1 \quad y=0$ или $x=-1 \quad y=0$.

Хочется, чтобы $xy \neq 0$. На самом деле мы ищем наименьшее решение в натуральных числах. Найдём его --- найдём затем и все остальные. Так устроено уравнение Пелля, что все его решения получаются простым способом из наименьшего (каким --- тоже нужно понять).

А для тех $N$, что Вы перечислили, наименьшее решение можно указать явно (т.е. написать явные выражения через параметры $n$, $k$). Это наименьшее решение можно угадать (затем доказав, что оно действительно наименьшее), но можно и найти, попытавшись разложить $\sqrt{N}$ в непрерывную дробь. Вот такая стратегия. Пробуйте.

[Mary84]

Фундаментальное (наименьшее) решение можно найти, раскладывая $ \sqrt{N}$ в непрерывную дробь (метод Браункера). Если $\frac{P_{k}}{Q_{k}}$ - подходящие дроби для непрерывной дроби $ \sqrt{N}=\left [a_{0}; \left \{ a_{1}, a_{2},...,a_{n},2a_{0} \right \}} \right ]$, то при нечётном n решением будет пара $(P_{n}, Q_{n})$ , при чётном n - пара $(P_{2n+1}, Q_{2n+1})$.

Пробую по этому методу решить уравнение Пелля при $N=n^2+1$

$\sqrt{n^2+1}=n+\alpha = n+ \frac{1}{\frac{1}{\alpha}}$

$\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}-n}=\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}=\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{n^2+1-n^2}=\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{1}=\sqrt{n^2+1}+n$


Почему-то сразу поделилось, но дробь ведь периодической быть должна.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #810291 писал(а):

Почему-то сразу поделилось, но дробь ведь периодической быть должна.

Так Вы не закончили, поэтому и период не виден. Нужно продолжить ещё немного.

Всё-таки начните с $N=n^2-1$. Здесь быстрее будет. А потом вернётесь к $N=n^2+1$.

Виноват, быстрее будет получить фундаментальное решение. А разложить в непрерывную дробь $\sqrt{n^2-1}$ будет дольше, чем $\sqrt{n^2+1}$.

[Mary84]

При $N=n^2-1$

$\sqrt{n^2-1}=n-\frac{1}{2n-\frac{1}{2n- \frac{1}{...}}}$

Сверяясь с видом дроби $ \sqrt{N}=\left [a_{0}; \left \{ a_{1}, a_{2},...,a_{n},2a_{0} \right \}} \right ]$ , видно что n=0
Т.к. n - чётное, то решением являются числитель и знаменатель подходящей дроби $(P_{2\cdot 0 +1},Q_{2\cdot 0 +1}) $ Т.е. $(P_{1},Q_{1}) $

Найдём подходящие дроби.

$\frac{P_{0}}{Q_{0}}=\frac{n}{1}$
$\frac{P_{1}}{Q_{1}}=n-\frac{1}{2n}=\frac{2n^2-1}{2n}$