Решить уравнение Пелля

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #810855 писал(а):

При $N=n^2-1$

$\sqrt{n^2-1}=n-\frac{1}{2n-\frac{1}{2n- \frac{1}{...}}}$

А почему у Вас всюду минусы? Плюсы же должны быть. Нужно по-честному разложить. Подскажу ответ: для $\sqrt{n^2+1}$ будет одночленный период (и Вы его практически уже нашли в предыдущем сообщении), а для $\sqrt{n^2-1}$ --- двучленный.

[Mary84]

$\sqrt{n^2+1}$ я тоже пробовала разложить
Получилось $ \sqrt{n^2+1}=\left [ n; \left \{ 2n \right \}\right ]$

Вариант с минусом пересчитаю.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #810877 писал(а):

$\sqrt{n^2+1}$ я тоже пробовала разложить
Получилось $ \sqrt{n^2+1}=\left [ n; \left \{ 2n \right \}\right ]$

Правильно.

В остальных случаях действуйте также (т.е. строго по алгоритму разложения в непрерывную дробь), и всё там замечательно разложится: периоды короткие.

[Mary84]

$\sqrt{n^2-1}=\left [ n-1;\left \{ 1, 2n-2\right \}\right ]$

Получилось вот так.

[nnosipov]

Да, всё верно. Штурмуйте дальше.

[Mary84]

$\sqrt{n^2+1}=\left [ n; \left \{ 2n \right \} \right ]$

$\frac{P_{1}}{Q_{1}}=n+\frac{1}{2n}=\frac{2n^2+1}{2n}$

Проверка: $(2n^2+1)^2-(n^2+1)(2n)^2=4n^4+4n^2+1-4n^4-4n^2=1$

$\sqrt{(nk)^2+k}=\left [ nk; \left \{ 2n, 2nk \right \} \right ]$

$\frac{P_{1}}{Q_{1}}=nk+\frac{1}{2n}=\frac{2n^2k+1}{2n}$

Проверка: $(2n^2k+1)^2-((nk)^2+k)(2n)^2=4n^4k^2+4n^2k+1-4n^4k^2-4n^2k=1$

В остальных случаях тоже всё сошлось.

$\sqrt{(nk)^2+2k}=\left [ nk; \left \{ n, 2nk \right \} \right ]$

$\sqrt{n^2-1}=\left [ n-1; \left \{ 1, 2n-1 \right \} \right ]$

Однако есть вопрос о том , как получать остальные решения. Сейчас мы нашли фундаментальные решения.
Уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах.
Решениями будут также пары, определяемые соотношением $x_{k}+y_{k}\sqrt{N}=\pm(x_{1}+y_{1}\sqrt{N})^k$
В этом соотношении сразу два неизвестных, поэтому не понятно как получать следующие пары.

[nnosipov]

Ну что же, разложение в непрерывные дроби получено. А дальше всё просто.

Mary84 в сообщении #811345 писал(а):

Решениями будут также пары, определяемые соотношением $x_{k}+y_{k}\sqrt{N}=\pm(x_{1}+y_{1}\sqrt{N})^k$
В этом соотношении сразу два неизвестных, поэтому не понятно как получать следующие пары.

Не понимаю, про какие неизвестные Вы говорите, но на всякий случай давайте заменим здесь букву $k$ (она уже занята) на букву $l$:

$$ x_l+y_l\sqrt{N}=(x_1+y_1\sqrt{N})^l, \quad l=1,2,\ldots \eqno(*) $$

Вам нужно понять, как пользоваться этой формулой. В качестве примера рассмотрим случай $N=n^2+1$. В этом случае мы уже нашли, что $x_1=2n^2+1$ и $y_1=2n$. Найдём следующее решение. Оно получится из формулы $(*)$ при $l=2$:

$$ (2n^2+1+2n\sqrt{n^2+1})^2=(2n^2+1)^2+2(2n^2+1)2n\sqrt{n^2+1}+(2n)^2(n^2+1)= $$

$$ =(8n^4+8n^2+1)+(8n^3+4n)\sqrt{n^2+1}=x_2+y_2\sqrt{n^2+1}, $$

откуда и находим $x_2$ и $y_2$ (найдите). Аналогично можно найти $(x_3,y_3)$, $(x_4,y_4)$ и т.д. Именно такую процедуру имеют в виду, когда говорят, что любое решение $(x_l,y_l)$ уравнения Пелля можно получить из минимального (фундаментального) решения $(x_1,y_1)$.

[Mary84]

В данном случае $x_{2}=(8n^4+8n^2+1), \quad y_{2}=(8n^3+4n)$.

Значит получение новых значений $ x_{\l}$ и $ y_{\l} $ заключается в приведении выражения $\pm(x_1+y_1)^{\l}$ к виду $x_{\l}+y_{\l}\sqrt{N}$.

Это так просто. А сразу не догадалась : (

Спасибо Вам большое!