2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 17:02 


27/01/13
69
Добрый вечер.

Задача: решить уравнение для всех указанных значений n, используя разложение в непрерывные дроби

$N=n^2+1$

$(nk)^2+k$
$(nk)^2+2k$
$ n^2-1$

Теория:
Решения уравнения Пелля $x^2-my^2=1$ - числители и знаменатели подходящих дробей.
Пусть (x,y) - положительное решение уравнения Пелля. Тогда $\frac{x}{y}$ является подходящей дробью к $ \sqrt{m}$

Какие подходящие дроби соответствуют решениям уравнения Пелля

Пусть n - длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа $ \sqrt{m}$.

Тогда числитель и знаменатель подходящей дроби числа $ \sqrt{m}$ являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда её номер
имеет вид $kn-1$ (т.е. даёт при делении на n остаток n-1) и нечётен.


Уравнение выглядит не совсем как уравнение Пелля. Я не знаю как привести его к нужному виду для значений n.
Подскажите, пожалуйста, как нужно решать задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Какое уравнение-то надо решить? Если
Mary84 в сообщении #810176 писал(а):
$x^2-my^2=1$
то причём тут $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 17:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Догадаться, конечно, можно, но лучше пусть ТС самостоятельно устранит этот беспорядок с буквами. А уж потом подскажем, что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 19:34 


27/01/13
69
Прошу прощения, там везде конечно n. Я из учебника взяла теорию и там было другое обозначение. Правка недоступна, наверное лимит времени на неё вышел. Тогда и период надо переобозначить на p.

Числитель и знаменатель подходящей дроби для \sqrt{n} являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с -1 по модулю P, где P — период цепной дроби для \sqrt{n}.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Так напишите заново. А то у Вас написаны одно равенство и три выражения, содержащие три разные буквы, после чего спрашивается про уравнение, не содержащее ни одной из этих букв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 19:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mary84, напишите заново точную постановку задачи. Что дано, что нужно получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 19:45 


27/01/13
69
Отредактировала.

Задача: решить уравнение Пелля для всех указанных значений N, используя разложение в непрерывные дроби

$N=n^2+1$
$N= (nk)^2+k$
$N= (nk)^2+2k$


Теория:
Решения уравнения Пелля $x^2-Ny^2=1$ - числители и знаменатели подходящих дробей.
Пусть (x,y) - положительное решение уравнения Пелля. Тогда $\frac{x}{y}$ является подходящей дробью к $\sqrt{N}$

Какие подходящие дроби соответствуют решениям уравнения Пелля

Пусть p - длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа $\sqrt{N}$.

Тогда числитель и знаменатель подходящей дроби числа $\sqrt{N}$ являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда её номер
имеет вид $kp-1$ (т.е. даёт при делении на $p$ остаток $p-1$) и нечётен.

Для начала, нужно разложить $\sqrt{N}$ в непрерывную дробь. А потом нужно выбирать нужные дроби, насколько я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 20:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mary84 в сообщении #810231 писал(а):
Отредактировала.
Плохо отредактировали. По-прежнему непонятно (и Вам самой в первую очередь), какое же уравнение нужно решить.

Пока не будет точной постановки задачи, обсуждать нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 20:19 


27/01/13
69
Я сейчас поняла. Всё на свои места встало. Попробую сейчас разобраться. Проблема, похоже, была именно в непонимании формулировки. Спасибо, что указали на ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 20:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А, вот теперь гораздо лучше. Так, начните со случая $N=n^2-1$, это самый простой случай. Попробуйте найти какую-нибудь пару $(x,y)$ целых чисел, для которой $x^2-(n^2-1)y^2=1$. Это совсем легко.

Разложение в цепную дробь $\sqrt{N}$ пока отложим. Хотя можно и с этого начать, если именно так требуется решать задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 20:32 


27/01/13
69
Можно, например, взять $x=1 \quad y=0$ или $x=-1 \quad y=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 20:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mary84 в сообщении #810252 писал(а):
Можно, например, взять $x=1 \quad y=0$ или $x=-1 \quad y=0$.
Хочется, чтобы $xy \neq 0$. На самом деле мы ищем наименьшее решение в натуральных числах. Найдём его --- найдём затем и все остальные. Так устроено уравнение Пелля, что все его решения получаются простым способом из наименьшего (каким --- тоже нужно понять).

А для тех $N$, что Вы перечислили, наименьшее решение можно указать явно (т.е. написать явные выражения через параметры $n$, $k$). Это наименьшее решение можно угадать (затем доказав, что оно действительно наименьшее), но можно и найти, попытавшись разложить $\sqrt{N}$ в непрерывную дробь. Вот такая стратегия. Пробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 21:43 


27/01/13
69
Фундаментальное (наименьшее) решение можно найти, раскладывая $ \sqrt{N}$ в непрерывную дробь (метод Браункера). Если $\frac{P_{k}}{Q_{k}}$ - подходящие дроби для непрерывной дроби $ \sqrt{N}=\left [a_{0}; \left \{  a_{1}, a_{2},...,a_{n},2a_{0} \right \}} \right ]$, то при нечётном n решением будет пара $(P_{n}, Q_{n})$ , при чётном n - пара $(P_{2n+1}, Q_{2n+1})$.

Пробую по этому методу решить уравнение Пелля при $N=n^2+1$

$\sqrt{n^2+1}=n+\alpha = n+ \frac{1}{\frac{1}{\alpha}}$

$\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}-n}=\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}=\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{n^2+1-n^2}=\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{1}=\sqrt{n^2+1}+n$


Почему-то сразу поделилось, но дробь ведь периодической быть должна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение06.01.2014, 21:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mary84 в сообщении #810291 писал(а):
Почему-то сразу поделилось, но дробь ведь периодической быть должна.
Так Вы не закончили, поэтому и период не виден. Нужно продолжить ещё немного.

Всё-таки начните с $N=n^2-1$. Здесь быстрее будет. А потом вернётесь к $N=n^2+1$.

Виноват, быстрее будет получить фундаментальное решение. А разложить в непрерывную дробь $\sqrt{n^2-1}$ будет дольше, чем $\sqrt{n^2+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Пелля
Сообщение07.01.2014, 19:30 


27/01/13
69
При $N=n^2-1$

$\sqrt{n^2-1}=n-\frac{1}{2n-\frac{1}{2n- \frac{1}{...}}}$

Сверяясь с видом дроби $ \sqrt{N}=\left [a_{0}; \left \{ a_{1}, a_{2},...,a_{n},2a_{0} \right \}} \right ]$ , видно что n=0
Т.к. n - чётное, то решением являются числитель и знаменатель подходящей дроби $(P_{2\cdot 0 +1},Q_{2\cdot 0 +1}) $ Т.е. $(P_{1},Q_{1}) $

Найдём подходящие дроби.

$\frac{P_{0}}{Q_{0}}=\frac{n}{1}$
$\frac{P_{1}}{Q_{1}}=n-\frac{1}{2n}=\frac{2n^2-1}{2n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group