Что значит неопределенность функции?

[Urnwestek]

Плохость этого равенства в том, что $\Delta x$ может равняться нулю даже когда $\Delta t$ нулю не равно.

[provincialka]

Я же говорю, используйте дифференциал. Это гораздо более полезное понятие.

[Urnwestek]

А, да, глаз зацепился за именно это равенство и я не дочитал. (:
Использовать определение дифференцируемой функции то понятно, только там явно не две строчки будет, а дифференциал как использовать? Просто сократить $dx$ в обозначениях Лейбница? Он ж тоже нулём быть может.

[provincialka]

Вы сначала запишите определение дифференцируемой функции. Возьмем те же обозначения: $y=h(t)=f(g(t))$. Запишите, что функция $g$ дифференцируема в точке $t$, а функция $f$ - в точке $x=g(t)$

[Urnwestek]

$g(t+h) - g(t) = g'(t)h + o(h)$ при $h \to 0$
$f(x+q) - f(x) = f'(x)q + o(q)$ при $q \to 0$

[provincialka]

Мне больше нравится другая запись:
$\Delta x = g(t+\Delta t) - g(t) = g'(t)\Delta t+ \alpha\cdot\Delta t$, где $\alpha \to 0$ при $\Delta t \to 0$
$\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) = f'(x)\Delta x+ \beta\cdot\Delta x$, где $\beta \to 0$ при $\Delta x \to 0$
В частности, при $\Delta x = 0$ будет и $\beta = 0$

[Munin]

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #809282 писал(а):

А как в пару строк доказать?

Гяометрически.

[Urnwestek]

Ну так записывать вроде как нехорошо, внизу-то $\Delta x$ — приращение аргумента функции $f$, а вверху — приращение функции $g$, чтобы их как-то связать надо уже пару магических слов о пределе композиций говорить... Про равенство нулю $\Delta x$ не понял. Ну а если $\Delta x \neq 0$?

[provincialka]

Ну, не все же я вам должна разжевывать. А оговорка про $\Delta x = 0$ потому, что этот вопрос у вас ранее возникал.

[Urnwestek]

Ну так, $\Delta x$ то может, например, в любой достаточно малой окрестности (при $\Delta t \to 0$ тобишь) иметь точку, в которой $\Delta x = 0$ и точку, в которой $\Delta x \neq 0$ поэтому нельзя вроде разбирать отдельно случаи типа когда $\Delta x = 0$ рассматриваем отношения приращений, а когда $\Delta x \neq 0$ рассматриваем по определению.
Тут вот что меня насторожило, в Зориче полное доказательство занимает полторы страницы (положу под кат), а Зорич вроде как дядька умный, тень на плетень без надобности наводить не будет. Поэтому заявления про «две строчки» меня слегка ввергли в ступор. (:

(Оффтоп)

[provincialka]

Ну, я говорила об основных моментах. Конечно, если все тонкости разбирать...
И чего вы голову морочите, читайте Зорича.

[Otta]

Urnwestek
Основная возня в этом доказательстве - и собственно, она и занимает больше всего места, - это возня с о маленькими. То есть выделить линейную часть (дифференциал) труда не представляет, выделяем и долго показываем, что да, все оставшееся - действительно о малое от приращения аргумента. Долго-долго. :)

[Urnwestek]

Вы только не подумайте, что я из какого-то желания вас «подловить» на неточностях. Просто я подумал может действительно ли есть короткое доказательство этого факта но, возможно, использующее более сложные структуры и определения. В Зориче и доказательство основной теоремы алгебры немаленькое, сильно удивился, когда узнал что есть доказательство онной в несколько строчек использующее, правда, некоторые факты о голоморфных функциях.

Цитата:

Основная возня в этом доказательстве - и собственно, она и занимает больше всего места, - это возня с о маленькими. То есть выделить линейную часть (дифференциал) труда не представляет, выделяем и долго показываем, что да, все оставшееся - действительно о малое от приращения аргумента. Долго-долго. :)

В принципе да. (:

[provincialka]

Urnwestek, просто я не для вас это писала, а для ТС. Ему эти тонкости пока ни к чему. Ему бы линейную часть выделить, и понять, что там от чего зависит. Может, меньше путаться будет.

[arseniiv]

(О цепном правиле.)

А мне оно нравится в point-free записи:

$$(f\circ g)' = (f'\circ g)\,g'.$$

Тут, наверно, сразу понятна разница между $(f(g(x)))'$ и $f'(g(x))$ — аргументы не мешаются, одни функции. Формулу производной обратной функции мне удалось вместить в голову только после подобной бесточечной записи в виде

$$(f^{-1})' = \frac1{f'\circ f^{-1}}.$$

Для кого-то может выглядеть обескураживающе. Хотя вот, например, выводится из предыдущей моментально.

Правда, относительная простота такой записи покупается не таким уж прозрачным «поаргументным» произведением и инвертированием (или делением и пониманием единицы как функции $x\mapsto1$). В идеале нужно писать лямбды или стрелочки, но они жутко скажутся на наглядности.

(Дополнение.)

А вот интересно, какие ещё решения есть у уравнения $\xi(f, g\circ h) = \xi(f\circ g, h)$, и сколько чудес отсекает $\xi(f, \mathrm{id}) = \xi(\mathrm{id}, f)$?

P. S. Ўай, этим уравнениям удовлетворяет не только $(f,g)\mapsto(f\circ g)'$, но и сама композиция, и вообще пропущенная через любой оператор композиция. Как же переформулировать…

P. P. S. Уже забыл, чего хотел. Вряд ли такого: $\xi(f\circ g) = \varphi(f, g)\,\psi(g)$. Умножение тоже надо вывести, да и ограничений и в такой версии маловато — вот возьмём $\psi = \mathrm{const}$, и ничего содержательного не получится.