Разные простые вопросы по математике

[Denis Russkih]

Deggial: Подтема выделена из темы Верите ли вы в путешествие во времени?, тег оффтопа убран. Оставляю новую тему здесь, так как до раздела ПРР не дотягивает.

<...>
Ещё вариационное исчисление очень порадовало. В голове давно бродили смутные вопросы, а что будет, если использовать функцию вместо переменной (ну, как бы сделать такую "функцию функций" и исследовать её). И опаньки — оказывается, это уже давно существующий раздел математики!.. Хорошо быть неучем, каждый день новые открытия! :) А ведь Вы тоже чуть ранее упоминали об этом. Но только начав читать ФЛФ, я по-настоящему врубился, о чём шла речь.

В общем, результативно заглянул, спасибо за наводку. :) Было очень интересно, всю главу запоем прочёл за вечер. Но, к сожалению, как я ни старался вникнуть, начиная с определённого момента все формулы сделались китайской грамотой. (Всякие там "разложить в ряд Тейлора" просто выключают меня.) Нужно будет вернуться, когда я получше освою необходимый математический аппарат. Очень надеюсь, что это когда-нибудь произойдёт. :)

Разумеется, я в очередной раз убедился, что ещё азов не знаю, и пока рановато мне тут думать о временных парадоксах... Но всё равно, не зря посмотрел книжку. Было классно. Прямо-таки перезагрузка мозга. А то я в последнее время почти не кормил его ничем умным.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #807386 писал(а):

Рад, что не поленился, это реально круто.

Я тоже очень рад. Хотя с другой стороны, грустно: оказывается, много из того, что вам говорят, вы "откладываете в долгий ящик".

Denis Russkih в сообщении #807386 писал(а):

Всякие там "разложить в ряд Тейлора" просто выключают меня.

Это штука как раз очень простая, намного более простая, чем обсуждаемые вещи. Это из матанализа за первый курс.

Нарисуйте на бумаге карандашом какой-нибудь произвольный график функции. Возникает вопрос, есть ли у него формула. Ткнём в произвольную точку на графике. Для этой точки формула, конечно, есть: $f(x_0)=y_0.$ Теперь приложим линейку по касательной в этой точке. Для получившейся прямой линии тоже есть формула: $f(x)=y_0+k(x-x_0).$ Эта формула, конечно, не годится для графика целиком, но позволяет немножко отступить от начальной точки вправо-влево, и получить не слишком сильную ошибку. Если мы отступим слишком сильно, то график "уедет в сторону" от приложенной касательной линии. Но вот что интересно: он "уедет" в какую-то сторону (скажем, вниз) и справа, и слева! И получается, что он похож на параболу. Поэтому, мы можем "приложить параболическую линейку" (мысленную), в этой точке, и получить следующее приближение, лучше прежнего. Если от прямой линии график отходил достаточно быстро, то от параболы он будет не отходить подольше. Формула станет $f(x)=y_0+k_1(x-x_0)+k_2(x-x_0)^2.$ Можно заметить тенденцию, и продолжить прикладывать "линейки графиков степенных функций", добавляя в формулу слагаемые $\ldots+k_n(x-x_0)^n$ всё возрастающих и возрастающих степеней. При этом, описание графика функции будет получено уже достаточно точное на достаточно большом промежутке. Посмотрите, например, ссылку http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+x+series и понажимайте несколько раз "More terms" на графике. Вот такая приближённая формула, но "бесконечная", записанная с произвольным числом степенных членов, и называется степенным рядом = рядом Тейлора (разложением в ряд Тейлора) для заданной функции в заданной точке (в окрестности заданной точки).

Эта штука - очень полезна и теоретически (в каком-то смысле "все функции одинаковые"), и для вычислений. Например, ещё Ньютон пользовался тем, что для такого представления функции очень просто посчитать производную и интеграл: мы просто берём каждое слагаемое вида $\ldots+k_n(x-x_0)^n+\ldots,$ и при дифференцировании оно становится $\ldots+nk_n(x-x_0)^{n-1}+\ldots,$ а при интегрировании, наоборот, $\ldots+\tfrac{k_n}{n}(x-x_0)^{n+1}+\ldots$ Разумеется, это не позволит нам вычислить что-то для всей функции в целом (в конце концов, наше "степенное лекало" где-то отходит от самой по себе точной фунции), но это позволит нам сделать некоторые важные выводы вокруг интересующей нас точки. Или, можно двигаться к следующей точке, и в ней тоже вычислять производную - и так идти "большими шагами".

Теперь ещё один момент, о котором я не сказал, но заглянув в Фейнмана, понял, что должен сказать. Раз мы, взяв производную, получаем из $n$-ного слагаемого $\ldots+nk_n(x-x_0)^{n-1}+\ldots,$ то взяв производную $n$ раз (взяв $n$-ную производную), мы получаем из этого слагаемого $\ldots+(n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1)k_n(x-x_0)^{0}+\ldots$ А это вы можете понять: это будет $\ldots+n!\cdot k_n+\ldots,$ потому что в нулевой степени всё равно единице. То есть, наше $n$-ное слагаемое переехало на первое место (а все, которые были перед ним, вообще по очереди обнулились, и не вошли в $n$-ную производную). А узнать, какое слагаемое стоит на первом месте, очень просто: нам нужно вообще никуда не отступать от исходной точки (вы помните, что всё это мы проделываем вокруг некоторой заданной исходной точки $x_0$?), а взять значение прямо в этой точке. Итак, обозначая $n$-ную производную $f^{(n)},$ мы получаем важное соотношение (которое важно и в ту, и в другую сторону):

$$f^{(n)}(x_0)=n!\cdot k_n\qquad k_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$$

То есть, если мы знаем (откуда-то) все-все-все производные нашей функции в нашей точке, то мы можем написать ряд Тейлора, посчитав его коэффициенты. И наоборот, зная коэффициенты ряда Тейлора, мы можем узнать производные любого порядка. По сути, это одно и то же, незачем про них думать как про разные сущности. И отсюда ещё один забавный факт: вся информация о функции на всём протяжении графика содержится только в одной точке этой функции, если только уметь вычислять производные в этой точке до произвольного порядка! И наоборот. Но осторожно: на самом деле, это не совсем верно, а есть ограничения (кусок графика только конечной длины) и исключения - "нехорошие случаи" - "всюду неприятные функции". Но хотя математики и обязаны об этом помнить, в физике на самом деле важен сам факт такой удивительной связи, и физические функции никогда не бывают такими "нехорошими" (а вот ограничение конечной длины для них действует).

Итак, после этого дополнения, если вы его поняли, я настаиваю, чтобы вы вернулись к тексту 19 главы, и перечитали неясное место, прямо сразу, не откладывая в долгий ящик, а лучше и всю главу заново с разбегу. Иначе забудется! Разбираться надо, пока всё свежо в голове! И можете рассказать о следующем неясном месте. А если вы не поняли этого моего объяснения, то давайте быстро разберёмся с ним, и всё-таки доделаем ваше чтение главы 19 - по крайней мере, начальной существенной части.

И ещё. В главе 19 Фейнман ссылается на предыдущий рассказ о принципе наименьшего времени в оптике. Если заинтересуетесь, то это том 3, глава 26. (Странная нумерация глав связана с тем, что три тома американского издания были разбиты на 9 томов в русском переводе. Поэтому номера глав идут по возрастанию сплошняком через тома 1-2-3-4, потом снова с первой - через тома 5-6-7, и потом 8-9.)

[Denis Russkih]

Munin

Обалдеть! Неужели всё так просто? :) Я всегда, когда слышал про "ряд Тейлора", представлял себе что-то грандиозное, непостижимое обывательским умом... А оказывается, это совсем не сложная и весьма прикольная штука! (По крайней мере, разобраться в основах можно очень быстро.)

Перечитав Ваш пост несколько раз и чуток погуглив, я уже почувствовал, что могу попробовать сам разложить какую-нибудь функцию в степенной ряд. :) Для пробы придумал простенькую $10x^5 + 3x$, раскладывать решил в окрестности точки $x=1$.

\parindent=0px$ f(x) = 10x^5 + 3x \\ f^{(1)}(x) = 50x^4 + 3 \\ f^{(2)}(x) = 200x^3 \\ f^{(3)}(x) = 600x^2 \\ f^{(4)}(x) = 1200x \\ f^{(5)}(x) = 1200 \\ \\ f(x) = (10 + 3) + \dfrac{(50 + 3)(x-1)}{1!} + \dfrac{200(x-1)^2}{2!} + \dfrac{600(x-1)^3}{3!} + \dfrac{1200(x-1)^4}{4!} + \\ + \dfrac{1200(x-1)^5}{5!} \\ \\ f(x) = 13 + 53(x-1) + \dfrac{200(x-1)^2}{2} + \dfrac{600(x-1)^3}{6} + \dfrac{1200(x-1)^4}{24} + \dfrac{1200(x-1)^5}{120} \\ \\ f(x) = 13 + 53(x-1) + 100(x-1)^2 + 100(x-1)^3 + 50(x-1)^4 + 10(x-1)^5$

И... результат сошёлся с тем, что выдаёт WolframAlpha!.. Я просто глазам своим не мог поверить! :) Реально тот же результат, только слагаемые расположены в обратном порядке. :)

Так классно чувствовать, что умею теперь чуточку больше, чем вчера. :) Пусть и по верхам нахватал обрывков информации, не знаю многих подводных камней, но сам факт, что это оказалось так легко, изумляет... Огромное спасибо Вам за толковые и развёрнутые объяснения.

А ведь я до этого столько времени блуждал кругами, боясь подойти к этому ряду Тейлора и прочим ништякам... Иногда порывался узнать, что это такое, но тут же одёргивал себя, что ещё не готов и ничего не пойму. :) Да-а, всё-таки самостоятельное изучение математики — это жесть. Постоянно всё оказывается не таким, каким виделось издалека. Очень сложно проложить правильный курс. Походу, наверное, бессмысленно пытаться заранее определить, что проще, а что сложнее. :) Лучше, видимо, пробовать на зуб всё подряд, и то больше толку будет!

До ФЛФ я сегодня, увы, не добрался, слишком увлёкся степенными рядами. :) Но надеюсь завтра вернуться и попробовать ещё немного продвинуться.

[Aritaborian]

Denis Russkih Это здорово, что вам без проблем далась эта тема. Но матан всё же нужно изучать последовательно. Как у вас с пределами? Дельта-эпсилон, всё такое.

[arseniiv]

Denis Russkih Если вы разложите самостоятельно функцию $x\mapsto(1-x)^{-1}$, познаете дзен возможно, это пригодится как-нибудь. Только потом посмотрите интервал сходимости.

[Denis Russkih]

Aritaborian в сообщении #807848 писал(а):

Это здорово, что вам без проблем далась эта тема. Но матан всё же нужно изучать последовательно. Как у вас с пределами? Дельта-эпсилон, всё такое.

Пока только в общих чертах знаком. И на практике эти знания применять не умею. :) У меня вообще изучение математики происходит по какой-то очень замысловатой траектории. Что вызывает интерес, то я и пытаюсь копать. В результате я знаю о существовании некоторых весьма специфических вещей, но при этом почти не знаком со многими понятиями, известными любому первокурснику. :) Полный бардак в голове.

arseniiv в сообщении #807849 писал(а):

Если вы разложите самостоятельно функцию $x\mapsto(1-x)^{-1}$, познаете дзен возможно, это пригодится как-нибудь.

Интересная функция. :) Если я правильно понял, фишка в том, что числители у производных всегда оказываются равны факториалу номера производной. (Когда раскладываем в окрестности $x=0$.) Поэтому получается очень красиво: $f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$, и так далее. :) Но я не знаю, как это строго доказать.

[mihailm]

(Оффтоп)

Denis Russkih, вашу подпись можно продолжить. Что такое cos пополам? это что-то типа cc, вторая c это половинка o

[ex-math]

Denis Russkih
Чтобы строго доказать, вспомните школьную формулу для суммы первых членов геометрической прогрессии.

Кстати, Вам должен понравиться комплексный анализ. Хоть это и строгая наука, она, во-первых, допускает наглядную геометрическую интерпретацию, а во-вторых, благодаря жесткой внутренней структуре изучаемых объектов, во многих случаях позволяет "жонглировать формулами", почти не отвлекаясь на их обоснование. Наконец, она изумительно красива. А полюбившийся Вам ряд Тейлора занимает в ней одно из центральных мест.

[Munin]

Aritaborian в сообщении #807848 писал(а):

Но матан всё же нужно изучать последовательно. Как у вас с пределами? Дельта-эпсилон, всё такое.

Aritaborian, побойтесь Друмы! Дельты-эпсилоны совершенно не нужны для вычисления пределов! Более того, они и для понимания-то, что такое предел, не нужны. Они нужны только для того, чтобы продемонстрировать, что понятие предела у математиков определено строго, так что комар носа не подточит.

Denis Russkih в сообщении #807845 писал(а):

А ведь я до этого столько времени блуждал кругами, боясь подойти к этому ряду Тейлора и прочим ништякам... Иногда порывался узнать, что это такое, но тут же одёргивал себя, что ещё не готов и ничего не пойму. :) Да-а, всё-таки самостоятельное изучение математики — это жесть. Постоянно всё оказывается не таким, каким виделось издалека. Очень сложно проложить правильный курс. Походу, наверное, бессмысленно пытаться заранее определить, что проще, а что сложнее. :) Лучше, видимо, пробовать на зуб всё подряд, и то больше толку будет!

Вам советуют очень правильную вещь: взять готовый учебник, и идти по нему последовательно, подряд, ничего не пропуская, и не прыгая взад-вперёд. При этом курс будет намного более правильным, чем все ваши самостоятельные попытки и идеи.

В любом учебнике "по построению" чётко выдержано, какие знания на каких основаны. Разумеется, это не строгая цепочка, а в ней есть ветвления, но всегда следующая глава сложнее предыдущих, и требует знания (некоторых) предыдущих.

Кроме того, вы можете спросить совета на форуме. Вам расскажут, что с чем связано, и в каком порядке лучше изучать.

Denis Russkih в сообщении #807971 писал(а):

Пока только в общих чертах знаком. И на практике эти знания применять не умею. :)

Надо прорешать мешок простых задач.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #808010 писал(а):

Более того, они и для понимания-то, что такое предел, не нужны.

Вот не уверен. Может статься, что если человек не усвоит как следует дельты-эпсилоны, то у него в голове сложится какое-то своё собственное понимание предела, что в какой-то момент может вылезти боком и навредить пониманию иных вещей.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Дельты-эпсилоны — это всего лишь чересчур специальное определение. Есть же эквивалентные с большей понятностью.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

А что непонятного в дельтах-эпсилонах? В. Босс (противоречивая фигура, я знаю) даже писал где-то, что, мол, если это определение в голове не укладывается, то математикой заниматься не стоит.

[Munin]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #808018 писал(а):

Может статься, что если человек не усвоит как следует дельты-эпсилоны, то у него в голове сложится какое-то своё собственное понимание предела, что в какой-то момент может вылезти боком и навредить пониманию иных вещей.

Обычно такое понимание само может быть уточнено, а пониманию других вещей не навредит, если само по себе не ошибочно.

Aritaborian в сообщении #808024 писал(а):

А что непонятного в дельтах-эпсилонах?

Рад, что вам в них всё понятно. Но всё-таки это формалистическое объяснение, а не естественное.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Всё в них понятно, но они выглядят искуственно. Моим «уму и сердцу» они точно ничего не дали. Например, зачем окрестностям быть одинаковой длины в обе стороны? И вот дельта не нужна, и она теперь не прячет за собой окрестности. Как будто с ними не легче работать, чем с дельтой; их всё равно придётся держать в голове, чтобы понять. А эти неравенства с модулями…

Дельты страшно мешаются под ногами, если с ними попробовать определить предел на каком-то подмножестве.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

До меня, кажется, наконец, дошло, что вы предпочитаете определение в терминах окрестностей. Или дошло неправильно? Просто для меня это абсолютно одно и то же.