Эксперименты с поворотами (спин)

[Paganel]

VladimirKalitvianski в сообщении #803561 писал(а):

А нашли описание возможного эксперимента с нейтронной интерференцией с зависимостью картины от величины магнитного поля в одном плече.

Реальный эксперимент с нейтронной интерференцией был тоже сделан:
Werner et al. Phys. Rev. Lett. 35(1975)1053.
"Observation of the Phase Shift of a Neutron Due to Precession in a Magnetic Field".
Он подтвердил ожидаемое изменение знака волновой функции нейтрона из-за вращения его спина на 360 град в магнитном поле.

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

Paganel в сообщении #803670 писал(а):

Он подтвердил ожидаемое изменение знака волновой функции нейтрона из-за вращения его спина на 360 град в магнитном поле.

По этому вопросу все сошлись, разногласий или сомнений не было.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #803406 писал(а):

Вот именно поэтому я на сферических координатах и настаивал.

Итак, оказывается SergeyGubanov совершенно напрасно стращал читателей данного топика сферическими координатами. Спиноры отлично преобразуются при переходе к таковым с помощью следующей зависящей от точки матрицы:

$$ \left( \begin{array}{cc} \cos \frac {\theta} 2 e^{i \varphi / 2} & \sin \frac {\theta} 2 e^{-i \varphi / 2} \\ - \sin \frac {\theta} 2 e^{i \varphi / 2} & \cos \frac {\theta} 2 e^{-i \varphi / 2} \end{array} \right) $$

На этой оптимистичной ноте я и хотел бы закончить обсуждение этого аспекта, тем более в топике возобновился разговор по делу.

[Paganel]

VladimirKalitvianski в сообщении #803675 писал(а):

По этому вопросу все сошлись, разногласий или сомнений не было.

По другому вопросу лично у меня практических сомнений тоже нет - никто никогда не видел эффектов при вращении классической установки на 360 град (а то, что Munin писал иное в стартовом посте - это ему померещилось). Интерференция повернутой и неповернутой классической установки это разновидность интерференции живого и дохлого кота Шредингера.

Не бывает (с) Стругацкие.

Не то, что это принципиально невозможно и противоречит принципам КМ, а то, что реальные условия обычно не позволяют обеспечить требуемую степень когерентности на соответствующих классическим объектам де-бройлевских масштабах. Так что расщепление и интерференцию повернутой и неповернутой экспериментальной установки я себе не представляю. Это тебе не нейтрон с очень ограниченным числом степеней свободы. Однако дальше развивать эту тему не буду. Пусть знатоки сверхпроводящих конденсатов и пр. макроскопических квантовых объектов подтянутся и пофантазируют...

[VladimirKalitvianski]

Paganel в сообщении #803710 писал(а):

Пусть знатоки сверхпроводящих конденсатов и пр. макроскопических квантовых объектов подтянутся и пофантазируют...

Я тоже мучаюсь сомнениями. Если посмотреть на постоянный магнит, то он тоже создан "молекулярными токами", подобными токам сверхпроводимости, или спинами, так что эффект должен получаться с простым магнитом (если эффект вообще есть).

[Munin]

Paganel
А реальный эксперимент с переворотом половины экспериментальной установки вы знаете?

-- 20.12.2013 14:19:42 --

Paganel в сообщении #803710 писал(а):

а то, что Munin писал иное в стартовом посте - это ему померещилось

Это не мне померещилось, это описание я читал у кого-то серьёзного. (Может быть, у Фейнмана, тогда оно могло быть не основано на реальном эксперименте. Но нюасны описания выглядели весьма реалистично, так что я сомневаюсь в таком варианте.)

Paganel в сообщении #803710 писал(а):

По другому вопросу лично у меня практических сомнений тоже нет - никто никогда не видел эффектов при вращении классической установки на 360 град

Я не говорил, что установка была классическая. Разумеется, эксперимент был квантовый. Некоторое квантовое состояние развели по двум частям установки, потом одну повернули относительно другой, и соединили обратно, и итоговое квантовое состояние изменилось.

-- 20.12.2013 14:21:09 --

Paganel в сообщении #803710 писал(а):

Не то, что это принципиально невозможно и противоречит принципам КМ, а то, что реальные условия обычно не позволяют обеспечить требуемую степень когерентности на соответствующих классическим объектам де-бройлевских масштабах.

Мне опять же смутно вспоминается ("мерещится"), что там была сверхпроводимость использована. Сверхпроводящие контуры позволяют работать на больших масштабах, сохраняя квантовую суперпозицию.

-- 20.12.2013 14:23:11 --

VladimirKalitvianski в сообщении #803716 писал(а):

так что эффект должен получаться с простым магнитом (если эффект вообще есть).

Э нет. В простом магните макроскопическое количество этих квантовых токов, $\sim N_A=6\cdot 10^{23}.$ Вы ничего не заметите, если у вас интерференционная картина будет содержать столько максимумов и минимумов.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #803678 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #803406 писал(а):

Вот именно поэтому я на сферических координатах и настаивал.

Итак, оказывается SergeyGubanov совершенно напрасно стращал читателей данного топика сферическими координатами. Спиноры отлично преобразуются при переходе к таковым с помощью следующей зависящей от точки матрицы:

$$ \left( \begin{array}{cc} \cos \frac {\theta} 2 e^{i \varphi / 2} & \sin \frac {\theta} 2 e^{-i \varphi / 2} \\ - \sin \frac {\theta} 2 e^{i \varphi / 2} & \cos \frac {\theta} 2 e^{-i \varphi / 2} \end{array} \right) $$

На этой оптимистичной ноте я и хотел бы закончить обсуждение этого аспекта, тем более в топике возобновился разговор по делу.

При локальной подкрутке спинорного поля $\Psi' = S \Psi$ матрицей $S$ зависящей от координат $x^{\mu}$ спинорная связность получает добавку $\Gamma'_{\mu} = S \Gamma_{\mu} S^{-1} - (\partial_{\mu} S ) S^{-1}$. В то же самое время при преобразовании координат $x^{\mu}$ спинорная связность никакой добавки не получает, а преобразуется как вектор $\Gamma'_{\mu} = \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}} \Gamma_{\nu}$. Неужели Вам не понятно, что добавка $(\partial_{\mu} S ) S^{-1}$ не может быть скомпенсирована никаким преобразованием координат?

-- 20.12.2013, 17:53 --

warlock66613 в сообщении #803536 писал(а):

То, что мы крутим колёса согласованно и означает, что мы создали связь между ними

А Природа такой связи не создала. Мы ж, типа, законы Природы хотим постичь? Так вот в природе такого закона нет, а то что мы по собственному недоразумению будем колёса вертеть согласованно нам доблести не делает.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #803842 писал(а):

Э нет. В простом магните макроскопическое количество этих квантовых токов, $\sim N_A=6\cdot 10^{23}.$ Вы ничего не заметите, если у вас интерференционная картина будет содержать столько максимумов и минимумов.

Ну мы же не интерференцию магнита с самим собой хотим наблюдать. Я думал, что он может заменить сверхпроводящий магнит в одном из плеч, который надо вращать.

В целом, то, что электрон описывается спинором, известно давно и по атомным спектрам, и по экспериментам с рассеянием поляризованных электронов, и т.д.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #803939 писал(а):

добавка $(\partial_{\mu} S ) S^{-1}$ не может быть скомпенсирована никаким преобразованием координат?

Вы упускаете из виду, что то, что в векторном анализе называется "преобразование координат" с точки зрения дифгеометрии есть переход к другим координатам и одновременный переход к другому базису, причём не совсем тривиальный.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #803980 писал(а):

Ну мы же не интерференцию магнита с самим собой хотим наблюдать.

Ещё бы, с самим собой - это будет $\sim(N_A)^2.$

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #804058 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #803939 писал(а):

добавка $(\partial_{\mu} S ) S^{-1}$ не может быть скомпенсирована никаким преобразованием координат

Вы упускаете из виду, что то, что в векторном анализе называется "преобразование координат" с точки зрения дифгеометрии есть переход к другим координатам и одновременный переход к другому базису, причём не совсем тривиальный.

Вы под словами "векторный анализ" что имеете в виду? Почему "векторный анализ" Вы противопоставляете дифференциальной геометрии? Что Вы имеете в виду в этом самом "векторном анализе" под словами, которые взяли в кавычки? Что вы имеете в виду под словом "базис", который "не совсем тривиально" преобразуется?

По мне, так в дифференциальной геометрии при преобразованиях системы координат базис $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ касательного пространства, равно как и базис $dx^{\mu}$ кокасательного пространства преобразуются вполне так себе тривиально:

$$ \frac{\partial}{\partial x'^{\mu}} = \left( \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}} \right) \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}, \qquad dx'^{\mu} = \left( \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \right) dx^{\nu}, $$

что не оставляет Вам ни единого шанса избавиться с помощью преобразования координат от добавки $(\partial_{\mu} S ) S^{-1}$ в спинорной связности появляющейся при калибровке спинорного поля матрицей $S$ зависящей от координат $x^{\mu}$.

Пожалуйста пишите свои сообщения развёрнуто и побольше формул, а то я ж не телепат. Вот, несколько сообщений назад, Вы написали какую-то матрицу, а из каких соображений она получена, для чего предназначена и как же её использовать - не написали.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #805048 писал(а):

Почему "векторный анализ" Вы противопоставляете дифференциальной геометрии?

Потому что это разные вещи, и у них разных подход к криволинейным координатам, в частности сферическим. Именно, в векторном анализе используется (неявно) нормированный некоординатный базис, чтобы компоненты одноформ и соответствующих векторов были одинаковыми.
Для сферической системы координат это получается

$$\begin{array}{llcr} \hat{\mathbf{\varphi}} = & - \sin \varphi \cdot (\partial / \partial x) + \cos \varphi \cdot (\partial / \partial y)&=&(r \sin \theta)^{-1}(\partial / \partial \varphi) \\ \hat{\mathbf{\theta}} = & \cos \theta \cos \varphi \cdot (\partial / \partial x) + \cos \theta \sin \varphi \cdot (\partial / \partial y) - \sin \theta \cdot (\partial / \partial z)&=&r^{-1}(\partial / \partial \theta) \\ \hat{\mathbf{r}} = & \sin \theta \cos \varphi \cdot (\partial / \partial x) + \sin \theta \sin \varphi \cdot (\partial / \partial y) + \cos \theta \cdot (\partial / \partial z)&=&\partial / \partial r \end{array}$$

А это и есть (если сюда добавить время, которое мы полагаем неменяющимся $t' = t$) тетрада, так что преобразования получатся правильными. Матрица, которую я привёл, выведена именно для этого базиса.

[SergeyGubanov]

А, кажется уловил. Я бы назвал это э-э-э явление как-то так: замена переменных в системе уравнений в частных производных.

С матрицей пока не ясно. Чего чему приравняли, с какой целью?

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #805067 писал(а):

А, кажется уловил. Я бы назвал это э-э-э явление как-то так: замена переменных в системе уравнений в частных производных.

Если у вас есть сомнения, найдите в какой-нибудь простой книжке (в фейнмановских лекциях можно, в старых курсах общей физики, главное чтобы там про формы и дифгеометрию не было ни слова), например, выражение для градиента в сферических координатах. Вы можете проверить, что его компоненты записаны именно для приведённого мной базиса, а не для $\partial / \partial r$, $\partial / \partial \varphi$, $\partial / \partial \theta$.

-- 23.12.2013, 14:11 --

SergeyGubanov в сообщении #805067 писал(а):

С матрицей пока не ясно. Чего чему приравняли, с какой целью?

Чуть позже напишу, прямо сейчас времени нет, извините.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #805075 писал(а):

Если у вас есть сомнения, найдите в какой-нибудь простой книжке (в фейнмановских лекциях можно, в старых курсах общей физики, главное чтобы там про формы и дифгеометрию не было ни слова), например, выражение для градиента в сферических координатах. Вы можете проверить, что его компоненты записаны именно для приведённого мной базиса, а не для $\partial / \partial r$, $\partial / \partial \varphi$, $\partial / \partial \theta$.

У вас:

$$\hat{r} = \frac{\partial}{\partial r}, \qquad \hat{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}, \qquad \hat{\varphi} = \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \varphi}$$

Это контравариантный градиент:

$$\nabla^{\mu} \Phi = g^{\mu \nu} \frac{\partial \Phi}{\partial x^{\nu}}.$$

В "векторном анализе" это необходимо, так как векторы там используются только контравариантные (индекс всегда сверху).