Получается, что функцию можно задать таким образом, что при определенном значении аргумента мы не сможем найти значение функции, но на самом деле значение у функции будет, так ?
Функция определяется только тем, какое значение она имеет в какой точке области определения. Поэтому если число

не входит в область определения

(тогда и говорят, что

не определено, т. е. этой записи ничего не соответствует), значения у этой функции в этой точке быть не может вообще, т. к. если оно есть,

в область определения всё-таки, значит, входит.
А когда мы делим одну функцию на другую, область определения полученной функции

может быть уже, чем пересечение исходных — из-за корней

, в которых дробь не определена, т. к. знаменатель обращается в ноль. Даже если при этом

,

не будет равна просто

, а будет иметь в области определения дырочки. Не всегда умножение числителя и знаменателя на одно и то же — эквивалентное преобразование.