Что значит неопределенность функции?

[Pineapple]

Почему функции может быть не определена если x стремится к какому-нибудь числу?

[Aritaborian]

Э-э, можно конкретнее? Ну, может она такой быть ;-) Возьмём $f(x)=\frac1x$ и $x\to0$.

[Pineapple]

К примеру $\lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { 2{ x }^{ 2 }-3x-5 }{ x+1 } } $.
В этом примере получается, что функция не определена. Но если решить предел, то получается -7? Почему так происходит?

[Urnwestek]

Pineapple в сообщении #801005 писал(а):

В этом примере получается, что функция не определена. Но если решить предел, то получается -7? Почему так происходит?

По определению понятий «предел», «функция» и «область определения».
Что конкретно вас смущает?

[provincialka]

У вас неправильная терминология. Неопределенность не функции, просто неопределенность как тип предела. А в чем ваш вопрос? Что значит "почему?" - математика на такие вопросы не отвечает. Другое дело - как найти этот предел.

[Pineapple]

Ну вот в исходном выражении получается неопределенность, а после неких преобразований получается функция $f(x)=2x-5$ и неопределенность исчезает. Как объяснить то, что значение исходной функции нельзя найти если поставить -1, а значение второй можно.

[Urnwestek]

Pineapple в сообщении #801027 писал(а):

Ну вот в исходном выражении получается неопределенность, а после неких преобразований получается функция $f(x)=2x-5$ и неопределенность исчезает. Как объяснить то, что значение исходной функции нельзя найти если поставить -1, а значение второй можно.

Объяснить можно тем, что функция может иметь предел в точке, даже не будучи в ней определена, такая точка называется «точкой устранимого разрыва» функции. В каком-то смысле, ради этого предел и вводили.
Кстати ещё, в общем случае, если функция в точке определена, то предел в ней не обязан совпадать со значением функции.

[Pineapple]

Получается, что функцию можно задать таким образом, что при определенном значении аргумента мы не сможем найти значение функции, но на самом деле значение у функции будет, так ?

[Aritaborian]

Кто ж вам такие «функции» даёт? Ну да ладно. Если преобразовывать нельзя, то в точке $x=-1$ функция и в самом деле не определена: деление на ноль. А предел есть. И левый и правый (и они равны). И функцию при желании можно доопределить.
(Ой, опередили.)

-- 14.12.2013, 21:20 --

Pineapple в сообщении #801036 писал(а):

не сможем найти значение функции, но на самом деле значение у функции будет, так ?

Извините, но это набор слов.

[Urnwestek]

Pineapple в сообщении #801036 писал(а):

Получается, что функцию можно задать таким образом, что при определенном значении аргумента мы не сможем найти значение функции, но на самом деле значение у функции будет, так ?

Нет, можно задать функцию таким образом, что она будет в точке не определена, но предел в ней иметь будет. И с помощью предела можно понять как её в этой точке можно, в каком-то смысле, логичнее всего доопределить.

[Jukier]

Pineapple в сообщении #801027 писал(а):

Ну вот в исходном выражении получается неопределенность, а после неких преобразований получается функция $f(x)=2x-5$ и неопределенность исчезает.

После неких преобразований получается $f(x)=4x-3$. См. Правило Лопиталя. Или какие преобразования Вы имели в виду?

[Aritaborian]

Pineapple имел в виду сокращение дроби на $x+1$. Будьте проще ;-)

[arseniiv]

Pineapple в сообщении #801036 писал(а):

Получается, что функцию можно задать таким образом, что при определенном значении аргумента мы не сможем найти значение функции, но на самом деле значение у функции будет, так ?

Функция определяется только тем, какое значение она имеет в какой точке области определения. Поэтому если число $a$ не входит в область определения $f$ (тогда и говорят, что $f(a)$ не определено, т. е. этой записи ничего не соответствует), значения у этой функции в этой точке быть не может вообще, т. к. если оно есть, $a$ в область определения всё-таки, значит, входит.

А когда мы делим одну функцию на другую, область определения полученной функции $h,\;h(x) = f(x)/g(x)$ может быть уже, чем пересечение исходных — из-за корней $g$, в которых дробь не определена, т. к. знаменатель обращается в ноль. Даже если при этом $f(x) = a(x)g(x)$, $h$ не будет равна просто $a$, а будет иметь в области определения дырочки. Не всегда умножение числителя и знаменателя на одно и то же — эквивалентное преобразование.

[Pineapple]

${ \frac { 2{ x }^{ 2 }-3x-5 }{ x+1 } }$
Как будет выглядеть график этой функции?

[Aritaborian]

Это прямая $y=2x-5$ с выколотой точкой $(-1,-7)$.