Что значит неопределенность функции?

[arseniiv]

Вот пример насчёт неопределённости: пусть есть два холодильника с 5 полками в каждом, и функции $f,\;g$. $f(n) = \langle\text{предмет, который лежит в первом холодильнике слева на полке }n\rangle$ и $g(n) = \langle\text{предмет, который лежит во втором холодильнике слева на полке }n\rangle$.
Некогда холодильники заполнили до отказа и притом пополочно одинаково, а потом прибежали тараканы и съели во втором холодильнике всё содержимое полки 2. Тогда $f(n) = g(n)$ на всей области определения $g$, а вот в точке 2 эта функция не определена. Несмотря на то, что в остальных точках значения $f$ и $g$ равны, мы не можем сказать, что «на самом деле» у $g$ есть значение в 2, но мы его не можем найти. (Сейчас, не зная ничего о тех холодильниках, мы не можем найти ни одного значения $g$.)

Пример странный, но вдруг чем-то поможет?

[Pineapple]

Меня больше интересует, что происходит c функцией $f\left( x \right) =\frac { (x+1)(2x-5) }{ x+1 } $ когда мы сокращаем на $x+1$

[Aritaborian]

Она превращается в другую функцию ;-) arseniiv ведь уже ответил вам.

[arseniiv]

(То сообщение пришлось на низ страницы. Может, в этом дело.)

[Munin]

Иногда говорят "доопределяется в точке $x=-1$".

[Aritaborian]

Munin, про доопределение в теме уже дважды писали ;-)

[Munin]

Pineapple
Функция - это такая таблица, где для каждого $x$ указан $y.$ (Бесконечная, но это сейчас не важно.) В этой таблице какие-то значения могут быть пропущены. Тогда и говорят, что в этой точке $x$ функция не определена. Их можно вставить - тогда говорят, что определяют функцию в этой точке. Если строго формально, то это уже будет другая функция, просто очень похожая на старую. Чего в этой концепции непонятного, я не могу уяснить?

[arseniiv]

Наверно, странно, что на ненулевые числа числитель-знаменатель можно умножать, а на функции — уже только если они ни в одной точке не нулевые, хотя как ноль себя ведёт только функция-константа-0, равная 0 везде, и можно было бы ожидать, что нельзя умножать только именно на неё. Pineapple, я близко попал?

[Munin]

arseniiv в сообщении #802306 писал(а):

Наверно, странно, что на ненулевые числа числитель-знаменатель можно умножать, а на функции — уже только если они ни в одной точке не нулевые

Ну, после некоторой привычки не странно. Умножение на функцию-числитель - это применение некоторого оператора в векторном пространстве функций. Этот оператор может быть вырожденным (функция - иметь нули). А деление на функцию-знаменатель - это применение обратного оператора. А раз оператор вырожден, то обратного у него, в строгом смысле, нет.

Снова крутимся вокруг той мысли, что понимание - это привычка.

[arseniiv]

Munin в сообщении #802335 писал(а):

Ну, после некоторой привычки не странно.

Ja-ja, мне не странно. Но попал ли я в точку, вот интересно. Вдруг причина непонимания не в этом.

[provincialka]

У меня еще вот такая мысль. Для математика функция - это тройка (область определения, область значений, соответствие). Например, $y=x^2, x\in \mathbb R$ и $y=x^2, x\ge 0$ - это две разные функции, с разными свойствами. Например, вторая - обратима. Но в элементарной математике обычно опускают эту информацию, по умолчанию считая, что элементарная функция задана везде, где можно подсчитать ее значения.
Поэтому при сокращении на $x+1$ функция меняется больше, чем нужно: у нее расширяется область определения. На самом деле, функция $f(x)=\frac{x+1}{x+1}$ не равна функции $g(x) = 1$. Она равна функции $f(x) =1, x\ne 0$

[Pineapple]

arseniiv
Да нет, просто непонятно как она так точно доопределяется.

[Aritaborian]

Предел слева равен пределу справа. Вуаля!

[svv]

Pineapple
А можно же ещё взять совершенно нормальную функцию, вроде $y=x+4$, и выбросить из её области определения, например, точку $x=17$. Будет новая, совершенно законная функция, значение которой в точке $x=17$ не определено.

[Pineapple]

Почему функция $(5x)^2$ будет являться сложной, а $5x^2$ нет?