Эксперименты с поворотами (спин)

[VladimirKalitvianski]

Из спора о спине:

Munin в сообщении #794775 писал(а):

Она есть, и построена на основе известного геометрического объекта: двузначного представления группы вращений. Она объясняет, почему мы возвращаемся к исходному значению компонент спинора только после двух полных оборотов системы координат.

Кроме того, есть и прямые эксперименты, в которых это свойство было проверено: брали экспериментальную установку, наблюдали в ней интерференционную картину, потом переворачивали одну часть этой экспериментальной установки на 360°, и интерференционная картина сдвигалась на полпериода. После поворота на 720°, интерференционная картина возвращалась к исходному виду. Так что, можно сказать, что эта модель построена на основе известных физических объектов: электронов.

Мне очень интересно, как проводился этот эксперимент и зачем вообще что-то там вращали. Я всегда думал, что физического вращения нет, а есть пересчет из одной неподвижной системы отсчета в другую, повернутую. Ведь если вращать, то включается динамика вращения и можно довращаться, что что-нибудь сломается.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #799182 писал(а):

Я всегда думал, что физического вращения нет, а есть пересчет из одной неподвижной системы отсчета в другую, повернутую.

Есть же всегда два представления о вращении:
- когда вращается система координат, а физическая система остаётся неподвижной;
- когда вращается физическая система, а неподвижной остаётся система координат.
Они называются (в математике) "пассивными" и "активными" преобразованиями, и матрицы преобразования координат для них транспонированные (в комплексном случае эрмитово сопряжённые).

Разумеется, здесь речь о том, что физическую систему "вращают" медленно и осторожно, в идеале - бесконечно медленно, так что в ней не происходит никаких специфических процессов, связанных с конечной скоростью вращения. Но, скажем, книгу на столе можно повернуть и за секунду, ничего страшного с ней от этого не случится, не рассыплется. А если бережно - ну за десять секунд.

И вот утверждение об инвариантности относительно вращений - состоит в том, что если мы проделаем два таких вращения подряд, то ничего вообще не изменится. Например, сначала повернём физическую систему, а потом вдогонку точно так же - систему координат. Или наоборот, сначала систему координат, а потом в новой системе координат - физическую систему. (Это всё касается случая, когда рассматривается конкретное решение физических уравнений - например, решение уравнений Максвелла, или Ньютона. Возможен другой вариант, когда рассматривается инвариантность самих уравнений - тогда достаточно одного "пассивного" преобразования координат, а после этого констатируют, что уравнения приняли ту же форму. Но неявно здесь заложено и "активное" преобразование: раз уравнения имеют ту же форму, то они допускают и решения, совпадающие в координатных выражениях, а физически они будут отвечать как раз двум "активно повёрнутым" относительно друг друга системам.)

Аналогично всё для четырёхмерных вращений в пространстве-времени - для произвольных преобразований Лоренца. Здесь, кроме чисто пространственных вращений, добавятся ещё разгоны на заданную скорость - и их тоже необходимо проделывать достаточно плавно и осторожно.

-- 11.12.2013 19:13:16 --

Статью об эксперименте я видел, но не сохранил, а сейчас не могу вспомнить ни названия, ни даже ключевых слов.

[VladimirKalitvianski]

Спасибо за ответ, я примерно так и думал.

Но, допустим, что установка абсолютно твердая и конечная скорость не изменяет ничего. Тогда не понятно, почему поворот на 360 градусов что-то не совмещает с собой. Даже z-проекция спина не меняется при поворотах, только знак спинора, но ведь спиноры не входят линейно в ответы.

[warlock66613]

VladimirKalitvianski в сообщении #799241 писал(а):

но ведь спиноры не входят линейно в ответы

Но билинейно-то входят.

[VladimirKalitvianski]

warlock66613 в сообщении #799283 писал(а):

Но билинейно-то входят.

Я знаю, но не понимаю, к чему Вы клоните. Дайте, пожалуйста, развернутое объяснение.

[warlock66613]

VladimirKalitvianski в сообщении #799287 писал(а):

Дайте, пожалуйста, развернутое объяснение.

Если мы повернём систему координат, то все спиноры изменят знак, а билинейные произведения останутся неизменными.
То же самое, если мы повернём всю установку целиком.
Но если мы повернём часть установки, то можно сделать так, чтобы часть спиноров поменяла знак, а часть - нет. Соответственно их произведения также изменят знак, и это можно будет определить экспериментально.

[VladimirKalitvianski]

warlock66613 в сообщении #799294 писал(а):

Но если мы повернём часть установки, то можно сделать так, чтобы часть спиноров поменяла знак, а часть - нет. Соответственно их произведения также изменят знак, и это можно будет определить экспериментально.

Тогда Вы, возможно, можете дать схему подобного эксперимента. У меня фантазии не хватает вообразить такое.

[warlock66613]

VladimirKalitvianski в сообщении #799298 писал(а):

Тогда Вы, возможно, можете дать схему подобного эксперимента. У меня фантазии не хватает вообразить такое.

Не могу. Может быть и могу, но с большим трудом и не скоро. Это надо очень хорошо подумать, с формулами.

[Munin]

Я нагуглил схему, не совсем совпадающую с тем, что я изначально описывал.
Берут пучок нейтронов, расщепляют на два, и сводят в интерферометре.
Одно плечо пропускают через магнитное поле, вращающее спин нейтронов на $2\pi.$
Интерференционная картина сдвигается при включении и выключении магнитного поля.
Кроме того, написано, что это возможная схема, но не сказано, что такие реально проделывались. А был какой-то реальный эксперимент...

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #799328 писал(а):

Одно плечо пропускают через магнитное поле, вращающее спин нейтронов на $2\pi.$

Тогда разность фаз будет непрерывно зависеть от магнитного поля (которое, наверное, вызывает прецессию). То есть, интерференционная картина должна непрерывно меняться в зависимости от величины магнитного поля. В чем-то похоже на эффект Ааронова-Бома.

[SergeyGubanov]

Хотелось бы поправить. Преобразований системы координат спиноры всё же не чувствуют. В частности, спинорная связность

$$\Gamma_{\mu} = \frac{1}{8} \omega_{\mu (a) (b)} [ \gamma^{(a)}, \gamma^{(b)} ]$$

при преобразовании системы координат ведёт себя как обычный ковектор:

$$\Gamma'_{\mu} = \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}} \Gamma_{\nu}.$$

Зато спиноры чувствительны к локальным (лоренцевским) вращениям системы отсчёта (тетрады). При локальных вращениях тетрады

$$e'^{(a)}_{\mu} = {\Lambda^{(a)}}_{ (b)} e^{(b)}_{\mu}$$

спиновая связность получает добавку

$$ \omega'^{(a)}_{\mu (b)} = {\Lambda^{(a)}}_{(c)} {\Lambda^{(d)}}_{(b)} \omega^{(c)}_{\mu (d)} + {\Lambda^{(c)}}_{(b)} \partial_{\mu} {\Lambda^{(a)}}_{\, (c)}. $$

Соответственно эта добавка выскакивает и в спинорной связности:

$$ \Gamma'_{\mu} = \Gamma_{\mu} + \frac{1}{8} {\Lambda^{(c)}}_{(b)} \partial_{\mu} {\Lambda^{(a)}}_{(c)} [ \gamma_{(a)}, \gamma^{(b)} ] $$

Такую же добавку в спинорную связность можно получить если покрутить сам спинор

$$ \Psi' = S \Psi $$

матрицей $S$ такой что

$$ S^{+} S = 1, $$

$$ S^{+} \partial_{\mu} S = \frac{1}{8} {\Lambda^{(c)}}_{(b)} \partial_{\mu} {\Lambda^{(a)}}_{(c)} [ \gamma_{(a)}, \gamma^{(b)} ] $$

Вот в этом смысле спинорное поле чувствительно к локальному (лоренцеву) вращению системы отсчёта (тетрады). Локальность вращений обязательна иначе производные $\partial_{\mu}$ и в правой и в левой частях уравнения обратятся в нуль, а уравнение $0 = 0$ как-то очень малосодержательно.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #799792 писал(а):

Преобразований системы координат спиноры всё же не чувствуют.

На вашем птичьем языке.

В стандартной КТП - "чувствуют".

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #799792 писал(а):

Хотелось бы поправить. Преобразований системы координат спиноры всё же не чувствуют.

Я не очень понимаю, так как преобразования переноса есть тоже "преобразования системы координат", которые, конечно, не меняют спинора. Но вращения-то меняют. Мы говорим о вращении, зачем нам переносы?

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski в сообщении #799888 писал(а):

Но вращения-то меняют.

Именно что вращения. Физически нужно вращаться. Натурально. Должна вращаться Система Отсчёта (тетрада). К произвольным преобразованиям Системы Координат это не имеет никакого отношения. Произвольные преобразования Системы Координат физически ничего не меняют, в то время как вращение Системы Отсчёта (тетрады) - это и есть натурально физическое вращение, а лоренцевский буст тетрады - движение.

Munin в сообщении #799801 писал(а):

В стандартной КТП - "чувствуют".

Вы путаете Систему Координат с Системой Отсчёта. Можно делать произвольные преобразования Системы Координат, например, из декартовых переходить в сферические, спинорное поле преобразований координат не чувствует: 1) у него нет тензорных индексов, 2) спинорная связность ковариантна по отношению к преобразованиям координат $\Gamma'_{\mu} = \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}} \Gamma_{\nu}$. А вот локальное вращение Системы Отсчёта $e'^{(a)}_{\mu} = {\Lambda^{(a)}}_{(b)} \, e^{(b)}_{\mu}$ спинорное поле чувствует поскольку спинорная связность при этих вращениях получает соответствующую добавку:

$$ \Gamma'_{\mu} = \Gamma_{\mu} + \frac{1}{8} {\Lambda^{(c)}}_{(b)} \partial_{\mu} {\Lambda^{(a)}}_{(c)} [ \gamma_{(a)}, \gamma^{(b)} ] $$

----------------------------------------------------------------------------------------

Если кто-то ещё путает Систему Координат с Системой Отсчёта и находится в заблуждении по поводу чувствительности спинорного поля к преобразованиям Системы Координат, ну подумайте на досуге тогда над тем как же, вот интересно, преобразуются компоненты спинорного поля при переходе от декартовой Системы Координат к сферической (Правильный ответ: как набор скаляров, то есть не изменяются)

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #800134 писал(а):

Должна вращаться Система Отсчёта (тетрада). К произвольным преобразованиям Системы Координат это не имеет никакого отношения.

Я хотел бы присоединится к недоумению VladimirKalitvianski. Ведь переход во вращающуюся систему отсчёта - это частный случай преобразования координат!