Тема
topic79049.html (в карантине
post800200.html#p800200) исправлена. Формулы откорректированы, цитаты приведены, суть вопроса по теме обозначена.
Определение из Берманта, Арамановича не приведено: если Вы цитируете по "Краткому курсу математического анализа для втузов", изданному в 1967 году, то определение там дается на странице 424.
Суть Ваших претензий по-прежнему непонятна.
Хочу также заметить, что
определение косинуса не может вытекать из
определения производной по направлению, в котором этот косинус фигурирует в "правой части".
1) Определения
"Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления"
и
"Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования"
присутствуют в Бермант-Араманович издания 1971 года, стр 427.
Добавлено определение со стр. 424.
2) Определение косинуса: для прямоугольного треугольника косинусом угла является отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Так как определением косинуса угла в прямоугольном треугольнике является отношение прилежащего катета к гипотенузе, то являющееся следствием определения производной по направлению выражение косинуса угла
противоречит определению косинуса для случая обсуждаемого определения производной по направлению, ведь при проектировании вектора градиента на выбранное направление прилежащим катетом угла
между векторами градиента и выбранного направления является
, а не
, который в общепринятом определении производной по направлению является ГИПОТЕНУЗОЙ в прямоугольном треугольнике проектирования вектора
на направление
.