Общепринятое определение производной по направлению из Корнов таково:
"Производная по направлению

от скалярной функции точки

есть скорость изменения функции по отношению к величине перемещения s точки

вдоль выбранного направления. Если направление задано единичным вектором

… то производная по направлению равна
…

"
Определение производной по направлению из Бермант-Араманович таково:
"Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления

.
Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е

"
а также на стр. 424 (издание 1971 года)
"Предел

называется производной от функции

по направлению

в точке

."
Бермант-Араманович, стр.428:
"Т е о р е м а. Направление градиента функции

в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку.
...
Отсюда следует, что направляющий вектор нормали ... является градиентом функции

в точке

, что и требовалось доказать."
Из последней цитаты очевидно, что вектор

- это тот вектор, с направлением которого совпадает направление градиента.
Из приведенных цитат следует, что

при

и

, где

,
соответственно

и

.
здесь

- направляющие косинусы орта

, а

-направляющие косинусы орта

.
Однако?
Тема дискуссионна и достойна обсуждения, так как следствием приведенных определений производной по направлению является определение косинуса угла

между векторами

и

, а именно:

.
Так как определением косинуса угла в прямоугольном треугольнике является отношение прилежащего катета к гипотенузе, то являющееся следствием определения производной по направлению вышеприведенное выражение косинуса угла

противоречит определению косинуса для случая обсуждаемого определения производной по направлению, ведь при проектировании вектора градиента на выбранное направление прилежащим катетом угла

между векторами градиента и выбранного направления является

, а не

, который в следствии из общепринятого определения производной по направлению является ГИПОТЕНУЗОЙ в прямоугольном треугольнике проектирования вектора

на направление

.
Спецы по векторному анализу на форуме имеются?